第七章　7．2　空间点、直线、平面之间的位置关系.docxVIP

7．2空间点、直线、平面之间的位置关系

1．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义．

2．了解四个基本事实、三个推论和等角定理，并能应用它们解决问题．

1．“四个”基本事实

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行Ｗ．

2．“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．空间中直线与直线的位置关系

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且,只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有,公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有,公共点))

4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

项目

图形语言

符号语言

公共点

直

线

与

平

面

相交

a∩α＝A

1个

平行

a∥α

0个

在平

面内

a?α

无数个

平面与平面

平行

α∥β

0个

相交

α∩β＝l

无数个

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补Ｗ．

6．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

教材拓展

关于唯一性的常用结论

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．(×)

(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)

(4)两两相交的三条直线共面．(×)

2．（人教A版必修第二册P147例1改编）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为(B)

A．eq\f(\r(5),10) B．eq\f(\r(5),5)

C．eq\f(3\r(5),10) D．eq\f(2\r(5),5)

解析：连接CA，CF，如图所示．易得BE∥CF，所以直线AF与BE所成的角为∠CFA（或其补角）.不妨设AB＝2.在△CFA中，易得AF＝3，AC＝2eq\r(2)，CF＝eq\r(5)，由余弦定理得cos∠CFA＝eq\f(AF2＋CF2－AC2,2AF·CF)＝eq\f(\r(5),5)，即直线AF与BE所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).故选B.

3．（人教A版必修第二册P128T1改编）下列说法正确的是(B)

A．四边形一定是平面图形

B．不在同一条直线上的三点确定一个平面

C．梯形不一定是平面图形

D．平面α和平面β一定有交线

解析：四边形不一定是平面图形，也可能是空间四边形，故A错误；不共线的三点确定一个平面，故B正确；梯形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C错误；若平面α和平面β平行，则其没有交线，故D错误．故选B.

4．（人教A版必修第二册P132T9改编）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D，E分别是AB，AC的中点，则(D)

A．B1D与A1E相交，且B1D＝A1E

B．B1D与A1E相交，且B1D≠A1E

C．B1D与A1E是异面直线，且B1D＝A1E

D．B1D与A1E是异面直线，且B1D≠A1E

解析：如图所示，因为A1E∩平面AA1B1B＝A1，B1D?平面AA1B1B，A1?B1D，所以B1D与A1E是异面直线，B1D＝eq\r(BBeq\o\al(2,1)＋\f(1,4)AB2)，A1E＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋\f(1,4)AC2).因为AA1＝BB1，AB≠AC，所以B1D≠A1E.故选D.

考点1基本事实的应用

【例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，F，E四点共面；

(2)