第七章　7．4　空间直线、平面的垂直.docxVIP

7．4空间直线、平面的垂直

1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．

2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．

1．直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.

(2)判定定理与性质定理

项目

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

性质

定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

a∥b

(3)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角是eq\f(π,2)；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0．

②范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

2．平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围是[0，π]Ｗ．

(2)判定定理与性质定理

项目

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

性质

定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

3.空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离Ｗ．

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

4．垂直、平行关系的相互转化

教材拓展

1．三垂线定理

若平面内的一条直线和平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

2．三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)

(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)

(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)

2．（人教A版必修第二册P151例3改编）已知直线a，b和平面α，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(B)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：必要性：若a∥α，则存在直线m?α，a∥m，由于b⊥α，m?α，得b⊥m，因为b⊥m，a∥m，所以b⊥a，必要性成立；充分性：如图，若平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线a，直线B1C1为直线b，满足a∥α，b⊥a，但B1C1∥平面ABCD，即b∥α，充分性不成立．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选B.

3．（人教A版必修第二册P158例7改编）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(C)

A．平面ABCD B．平面PBC

C．平面PAD D．平面PAB

解析：因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.

4．（人教A版必修第二册P162练习T1改编）已知直线a，b，l和平面α，则下列命题正确的是(B)

A．若a∥b，a∥α，则b∥α

B．若a∥b，a?α，b?α，a∥α，则b∥α

C．若l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，则l⊥α

D．若a⊥b，a⊥α，则b∥α

解析：若a∥b，a∥α，则可能b?α，所以A错误；若a∥b，a?α，b?α，a∥α，则b∥α，所以B正确；若l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，当a∥b时，l与α不一定垂直，所以C错误；若a⊥b，a⊥α，则可能b?α，所以D错误．故选B.

考点1直线与平面垂直的判定与性质

【例1】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.

(1)若D是AC的中点，且DA＝DB，求证：AB⊥CC1；

(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周长．

【解】(1)证明：∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC