第四章　4．7　正、余弦定理的综合应用.docxVIP

4．7正、余弦定理的综合应用

1．会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题．

2．会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题．

考点1多边形中的解三角形问题

【例1】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝6eq\r(2)，tanA＝eq\f(\r(2),2)，cos∠ADB＝eq\f(1,3).

(1)求cos∠BDC的值；

(2)求BC的长．

【解】(1)因为tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(2),2)，且sin2A＋cos2A＝1，解得sinA＝eq\f(\r(3),3)，cosA＝eq\f(\r(6),3).而cos∠ADB＝eq\f(1,3)，所以sin∠ADB＝eq\r(1－cos2∠ADB)＝eq\f(2\r(2),3)，所以cos∠ABD＝cos(π－A－∠ADB)＝－cos(A＋∠ADB)＝－(cosAcos∠ADB－sinAsin∠ADB)＝－eq\f(\r(6),3)×eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(\r(6),9)，因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD＝eq\f(\r(6),9).

(2)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，因为AB＝6eq\r(2)，所以BD＝eq\f(AB·sinA,sin∠ADB)＝3eq\r(3).在△CBD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝27＋18－2×3eq\r(3)×3eq\r(2)×eq\f(\r(6),9)＝33，所以BC＝eq\r(33).

平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

【对点训练1】如图所示，在平行四边形ABCD中，有ACcos∠BAC＝(2AB－BC)·

cos∠ABC.

(1)求∠ABC的大小；

(2)若BC＝3，AC＝eq\r(7)，求平行四边形ABCD的面积．

解：(1)由题意得ACcos∠BAC＝(2AB－BC)cos∠ABC，

由正弦定理得2sin∠ACBcos∠ABC＝sin∠BACcos∠ABC＋sin∠ABCcos∠BAC，

∴2sin∠ACBcos∠ABC＝sin(∠BAC＋∠ABC)＝sin(π－∠ACB)＝sin∠ACB，

又∵∠ACB∈(0，π)，

∴sin∠ACB≠0，∴cos∠ABC＝eq\f(1,2)，

∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝eq\f(π,3).

(2)在平行四边形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,3)，BC＝3，AC＝eq\r(7)，

在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC，即7＝AB2＋9－2×AB×3×eq\f(1,2)，

解得AB＝1或AB＝2，

当AB＝1时，平行四边形ABCD的面积为S＝2S△ABC＝2×eq\f(1,2)AB×BCsineq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)×1×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)；

当AB＝2时，平行四边形ABCD的面积为S＝2S△ABC＝2×eq\f(1,2)AB×BCsineq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)×2×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).

故平行四边形ABCD的面积为eq\f(3\r(3),2)或3eq\r(3).

考点2三角形中的最值、范围问题

【例2】（2024·河北衡水一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，BD＝2，且a2＝－eq\f(2\r(3),3)S＋abcos∠ACB.

(1)求∠ABC；

(2)求eq\f(2,AD)＋eq\f(1,CD)的取值范围．

【解】(1)∵a2＝－eq\f(2\r(3),3)S＋abcos∠ACB，

∴a2＝－eq\f(\r(3),3)absin∠ACB＋abcos∠ACB，

即a＝－eq\f(\r(3),3)bsin∠ACB＋bcos∠ACB，

由正弦定理得，

sin∠BAC＝－eq