第十章　10．3　二项式定理.docxVIP

10．3二项式定理

1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理

二项式

定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an-1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

二项

展开式

Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an-1b1＋Ceq\o\al(2,n)an-2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式

通项

Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0，1，2，…，n)

二项式

系数

各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数

2.二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)得到．直线r＝eq\f(n,2)将函数f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．

(2)增减性与最大值：当keq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而增大；当keq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n-1.

3．杨辉三角的性质

(1)最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1，2，3，4，…，第三层（含1，3）是三角形数列1，3，6，10，15，….

(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).

(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r-1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).

(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….

(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(6)自左（右）腰上的某个1开始平行于右（左）腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左（右）下方的那个数．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(×)

(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(√)

(3)通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．(√)

(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．(×)

2．（人教A版选择性必修第三册P35T6(1)改编）在(2x－1)8的展开式中，x2的系数为112．

解析：在(2x－1)8的展开式中，通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(2x)8-r(－1)r＝(－1)r28-rCeq\o\al(r,8)x8-r，令8－r＝2，解得r＝6，所以x2的系数是(－1)622Ceq\o\al(6,8)＝112.

3．（人教A版选择性必修第三册P38T5(5)改编）(x2＋x＋y)7的展开式中x5y3的系数为140．

解析：由题意可知，x5y3只能为1项x2、3项x和3项y相乘而得，所以x5y3的系数为Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(3,3)＝140.

4．(1－3x)7的展开式中所有项的系数之和为－128．

解析：令x＝1，可得所有项的系数之和为(1－3)7＝(－2