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2025-2026学年初中数学中考几何模型专题20《简单的四点共圆》

专题20《简单的四点共圆》

破解策略

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共

圆”．四点共圆常用的判定方法有：

1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．

如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的

圆上．

A

O

D

B

C

【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．

【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，

连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而

∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

P

C

QB

O

MN

O

A

D

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，

故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D

四点在同一个圆上．

A

D

B

C

3

【答案】（1）略；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·tanα．

3

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

AD

（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以＝

DE

3

tan30°，即AD＝DE．

3

3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一

个圆上．

A

D

B

E

C

【答案】略

4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两

个点和这条线段的两个端点共圆．【来源：21·世纪·教育·网】

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

A

G

D

B

C

【答案】略

诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用

四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．

例题讲解

例1如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分

别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆．