2025-2026学年初中数学中考几何模型专题21《等腰三角形的存在性》.pdfVIP

2025-2026学年初中数学中考几何模型专题21《等腰三角形的存在性》

破解策略

以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径

的圆上（不与线段AB共线）．

A

AB

BC

D

图1图2

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分

类讨论．通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．

如图2，若AB＝AC，过A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利

用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．

有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．

例题讲解

例1如图，正方形ABCD的边长是16，E在AB边上，AE＝3，F是BC边上不与B，C重

合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则

DB′＝．

AD

E

B′

BC

F

解16或45

①如图1，当CB′＝CD时，F与C重合，不符合题意，舍去；

②如图2，当DB′＝CD时，DB′＝16；

③如图3，当DB′＝B′C时，过B作GH∥AD，交AB于G，交CD于H．

显然G，H分别为AB，CD的中点．

由题意可得B′E＝13，DH＝BG＝8，所以EG＝5，

22

从而B′G＝B′E－EG＝12，B′H＝4，

22

所以DB′＝BH－DH＝45．

AD

EB′

BC(F)

图1

②如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知F在BC上且不与C、B重合）．

图2

③如图3所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°．

图3

1

当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8．

2

由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．

由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．

∴EG＝AG－AE＝8－3＝5，

∴B′G＝BE2EG212，

∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4，

∴DB′＝BH2DH245

例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果P由B出发沿BA方

向向A匀速运动，同时Q由A出发沿AC方向向C匀速运动，它们的速度均为

1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），

解：如图，过P作PH⊥AC于H，

∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，

∴PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

PHAP

∴＝，

BCAB

∵AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝5cm，

PH