2025-2026学年初中数学中考几何模型专题14《共顶点模型》.pdfVIP

2025-2026学年初中数学中考几何模型专题14《共顶点模型》

专题14《共顶点模型》

破解策略

1．等边三角形共顶点

等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．

A

D

F

GH

BCE

连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则：

（1）△BCD≌△ACE；

（2）AE＝BD；

（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；

（4）FC平分∠BFE；

（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；

（6）△CGH为等边三角形．

CACB





证明（1）由已知条件可得∠A∠CEBCD，则△BCD≌△ACE．





ECDC



（2）由（1）得AE＝BD；

（3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°．

（4）方法一如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N．

11

由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE．

22

A

D

F

M

N

E

BC

图1

方法二由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°．

同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．

（5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形．

易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝FC．

从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋FC．

A

D

F

M

N

E

BC

图1