第十章　10．6　离散型随机变量的分布列及其数字特征.docxVIP

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2025-07-29 发布于广西
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第十章　10．6　离散型随机变量的分布列及其数字特征.docx

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10．6离散型随机变量的分布列及其数字特征

1．了解离散型随机变量及其分布列的概念．

2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．

1．离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

3．离散型随机变量的分布列的性质

(1)pi≥0(i＝1，2，…，n).

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．

4．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

…

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E（X)）2p1＋(x2－E（X)）2p2

＋…＋(xn－E（X)）2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E（X)）2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(D(X))为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．

5．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．（a，b为常数）

教材拓展

均值与方差的四个常用性质

(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．

(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).

(3)D(X)＝E(X2)－(E（X)）2.

(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)

(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(√)

(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(√)

2．（人教A版选择性必修第三册P66T1改编）已知离散型随机变量X的分布列为

eq\f(2,5)

eq\f(3,10)

则E(X)＝(A)

A．eq\f(19,10) B．2

C．eq\f(5,2) D．eq\f(9,10)

解析：由题意可得E(X)＝1×eq\f(2,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(19,10).故选A.

3．（人教A版选择性必修第三册P70T1改编）随机变量X与Y满足Y＝2X＋1，若D(X)＝2，则D(Y)＝(A)

A．8 B．5

C．4 D．2

解析：D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2＝8.故选A.

4．（人教A版选择性必修第三册P67T3改编）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E（X甲）＝E（X乙），方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计(B)

A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

解析：已知样本方差D（X乙）＝3.4，D（X甲）＝11，由此估计，乙种水稻的方差约为3.4，甲种水稻的方差约为11.因为3.411，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．故选B.

考点1离散型随机变量的分布列的性质

【例1】（多选）已知离散型随机变量X的分布列为

0.2

0.1

则下列选项正确的是(ABD)

A．m＋n＝0.7

B．若m＝0.3，则P(X3)＝0.5

C．若m＝0.9，则n＝－0.2

D．P(X＝1)＝2P(X＝6)

【解析】由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，所以B正确；由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，得P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确．故选ABD.

离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否