第一章　1．3　等式性质与不等式性质.docxVIP

1．3等式性质与不等式性质

1．理解用作差法、作商法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个实数的大小．

2．掌握等式的基本性质．

3．理解不等式的概念及不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．

1．比较实数a，b大小的基本事实

(1)作差法

①a－b0?ab；

②a－b＝0?aeq\a\vs4\al(＝)b；

③a－b0?ab.

(2)作商法

①eq\f(a,b)1(a∈R，b0)?ab(a∈R，b0)；

②eq\f(a,b)＝1(a≠0，b≠0)?aeq\a\vs4\al(＝)b(a≠0，b≠0)；

③eq\f(a,b)1(a∈R，b0)?ab(a∈R，b0).

2．等式的基本性质

(1)对称性：a＝b?b＝a．

(2)传递性：a＝b，b＝c?a＝c．

(3)可加（减）性：a＝b?a±c＝b±c．

(4)可乘性：a＝b?ac＝bc．

(5)可除性：a＝b，c≠0?eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)．

3．不等式的性质

性质

性质内容

注意

对称性

ab?ba；ab?ba

可逆

传递性

ab，bc?ac；ab，bc?ac

同向

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

可乘性

ab，c0?acbc；ab，c0?acbc

c的符号

同向可加性

ab，cd?a＋cb＋d

同向

同向同正

可乘性

ab0，cd0?

acbd

同向，

同正

可乘方性

ab0，n∈N，n≥2?anbn

同正

可开方性

ab0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)eq\r(n,b)

同正

教材拓展

1．不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；

③ab0，dc0?eq\f(a,c)eq\f(b,d)；

④0axb或axb0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).

(2)分数性质

若ab0，m0，则

①真分数性质：eq\f(b－m,a－m)eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)(b－m0)，即真分数越加越大，越减越小；

②假分数性质：eq\f(a＋m,b＋m)eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)，即假分数越加越小，越减越大．

2．若axb，cyd，则a－dx－yb－c.

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．(√)

(2)若eq\f(b,a)1，则ba.(×)

(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)

(4)若eq\f(1,a)eq\f(1,b)，则ba.(×)

2．（多选）（人教A版必修第一册P43T8改编）下列命题为真命题的是(ABD)

A．若ac2＞bc2，则a＞b

B．若a＞b＞0，则a2＞b2

C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2

D．若a＜b＜0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)

解析：ac2bc2，则c20，则ab，故A正确；根据不等式的性质，ab0?anbn0，n∈N*，故B正确；若a＝－2，b＝－1，则a2abb2，故C错误；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)①，因为ab0，所以b－a0，ab0，所以①式大于零，故eq\f(1,a)eq\f(1,b)，故D正确．故选ABD.

3．（人教A版必修第一册P57T2(1)）若a＞b，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则ab＜0.（用不等号“”或“”填空）

解析：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＞0，因为a＞b，所以b－a＜0，所以ab＜0.

4．（人教A版必修第一册P43T3(4)改编）设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为M＞N．

解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N.

考点1比较数（式）大小

命题角度1作差法比较大小

【例1】若a0，b0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为(B)

A．pq B．p≤q

C．pq D．p≥q

【解析】p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f((b2－a2)(b－a),ab)＝eq\f((b－a)2(b＋a),ab)，因为a0，