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角平分线性质定理的几何证明方法与教学设计

一、角平分线性质定理

定理内容：在三角形中，角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。

符号表示：

设△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，则有PD⊥AB和PD⊥AC，且PD=PE，其中

二、几何证明方法

证明一：利用全等三角形

已知条件：

-△ABC中，AD是∠

点P在AD上，且PD⊥AB和

证明过程：

过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥

在△APE和△

-∠APE

-∠PAE

-AP=

由∠APE=∠APF，∠PAE=∠

因此，PE=

证明二：利用等腰三角形

已知条件：

-△ABC中，AD是∠

点P在AD上，且PD⊥AB和

证明过程：

过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥

在△APE和△

-∠APE

-∠PAE

因此，△APE

因此，PE=

三、教学设计

教学目标：

理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。

能够运用角平分线性质定理进行几何证明。

培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

教学过程：

导入：

提出问题：在三角形中，角平分线上的点到角两边的距离有什么关系？

引导学生回顾角平分线的定义和性质。

新课讲授：

定理内容：在三角形中，角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。

符号表示：设△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，则有PD⊥AB和PD⊥AC，且PD=PE，其中

证明方法：

利用全等三角形证明。

利用等腰三角形证明。

例题讲解：

例题1：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，且PD⊥AB和

例题2：在△ABC中，点P到AB和AC的距离相等，求证：点P在∠

课堂练习：

练习1：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点E和F分别是AB和AC上的点，且PE=

练习2：在△ABC中，点P到AB和AC的距离相等，求证：点P在∠

课堂总结：

回顾角平分线性质定理及其逆定理。

强调证明方法的重要性。

作业布置：

完成课后习题。

思考角平分线性质定理在其他几何问题中的应用。

四、表格总结

定理内容

符号表示

证明方法

角平分线上的点到角两边的距离相等

PD⊥AB，PD

全等三角形、等腰三角形

到角两边距离相等的点在角的平分线上

PE=PF，点P在

全等三角形、等腰三角形

五、公式

角平分线性质定理：PD

全等三角形判定：AAS（角-角-边）

通过以上内容，学生可以更好地理解角平分线性质定理及其应用，并能够在实际问题中进行灵活运用。

角平分线性质定理的几何证明方法与教学设计（1）

一、角平分线性质定理

在几何学中，角平分线是一个重要的概念。角平分线性质定理是平面几何中的一个基本定理，它描述了角平分线上任意一点到角两边的距离相等这一重要性质。

角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

二、几何证明方法

证明角平分线性质定理，可以使用几何中常用的方法，如几何法、代数法等。下面介绍一种常见的几何证明方法。

证明：

如图所示，设点P在∠AOB的平分线上，且OP平分∠AOB，交AB于点D。过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F。

要证明：PE=PF

证明过程：

由作图可知，∠PEO=∠PFO=90°，即PE⊥OA，PF⊥OB。

又因为OP平分∠AOB，所以∠POE=∠POF。

在△POE和△POF中，有：

∠POE=∠POF（已知，角平分线）

OP=OP（公共边）

∠PEO=∠PFO=90°（作图，垂直）

根据AAS（角-角-边）全等条件，△POE≌△POF。

由全等三角形的性质可知，对应边相等，所以PE=PF。

结论：点P在∠AOB的平分线上，且PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF。即角平分线上的点到角两边的距离相等。

三、教学设计

教学目标：

知识目标：理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。

能力目标：能够运用角平分线性质定理进行简单的证明和计算，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

情感目标：通过探究活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

教学重点：

角平分线性质定理的理解和掌握。

运用角平分线性质定理进行证明和计算。

教学难点：

角平分线性质定理的灵活运用。

逆定理的理解和应用。

教学方法：

讲授法

启发式教学法

合作探究法

教学过程：

（一）导入新课

复习角平分线的定义。

提出问题：角平分线上的点到角两边的距离有什么关系？

（二）新课讲授

角平分线性质定理的引入：

通过实例或动画演示，让学生直观地感受到角平分线上的点到角两边的距离相等。

引导学生猜想：角平分线上的点到角两边的距离是否总是相等？

角平分线性质定理的证明：

采用上述几何证明方法，引导学生进行证明。

强调证明过程中的关键步骤