江苏省常州高级中学溧阳中学22025学年高一下学期期中考试 数学 Word版含解析.docxVIP

数学试卷

一、单选题

1．（???）

A．1 B． C． D．

2．若复数满足，则的虚部为（????）

A． B．

C． D．

3．点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（????）

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB延长线上

C．点P在线段AB反向延长线上

D．点P在直线AB外

4．已知，，则(????)

A． B． C． D．

5．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（???）

A． B．2 C． D．

6．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则（????）

A． B． C． D．

7．已知，，则（????）

A． B． C． D．

8．设是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为（???）

A．2 B．4 C． D．8

二、多选题

9．下列结论正确的是（????）．

A．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底

C．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为

D．已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则

10．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（???）

A．函数的最小正周期为

B．函数在区间上单调递增

C．当时，的值域为

D．若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为

11．中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（???）

A．若是中线，则

B．若是高，则

C．若是的角平分线，则

D．若，则是线段的一个三等分点

三、填空题

12．已知复数满足，则．

13．已知，则.

14．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是.

四、解答题

15．已知复数，，其中为虚数单位，若.

(1)若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标；

(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.

16．已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．

(1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标；

(2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值．

17．如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，.

(1)用，表示，并求的模；

(2)求的长.

18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求；

(2)若的重心为，且，求．

19．在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足．

(1)若，求的值；

(2)在（1）的条件下，求的取值范围；

(3)若，求的取值范围．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

C

C

A

B

B

B

BC

BC

题号

11

答案

BD

1．C

由两角差的余弦公式结合即可求解.

【详解】由两角差的余弦公式得.

故选：C.

2．B

根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.

【详解】因为，所以，

所以的虚部为.

故选：B

3．C

由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.

【详解】

∴点P在线段AB反向延长线上

故选：C.

4．C

利用诱导公式化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式可求，再根据二倍角的正弦公式即可求解.

【详解】解：因为，又，

所以，

则.

故选：C

5．A

结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得．

【详解】由题可知，，

所以，所以，

故选：A．

6．B

由二倍角正弦公式结合正弦定理即可直接得到答案.

【详解】因为，即，

由正弦定理可得，

可得，

因为，则，，

所以，解得，

故选：B．

7．B

根据两角和差公式结合二倍角公式计算化简即可.

【详解】由题意得，

又因，

所以，整理得，

因为，所以，所以，即，解得．

故选:B．

8．B

首先由，，，结合余弦定理及可得，进而由三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得，由此即可得解.

【详解】

因为是的外心，点为的中点，所以，

由，，

则

所以，即，

由，得，所以，

所以的面积为

，

等号成立当且仅当，

综上所述，面积的最大值为4.

故选：B.

9．BC

结合单位向量、向量的基底、投影向量、虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】对于A，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A错误；

对于B，∵，为一组基底，∴，不共线，