数值分析第二章插值.pptVIP

例2：已知求三次多项式P(x)满足注意:第62页，共99页，星期日，2025年，2月5日解：第63页，共99页，星期日，2025年，2月5日1.多项式插值的龙格现象例：在[?5,5]上考察的Ln(x)。取-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5Ln(x)?f(x)?n越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象§4分段低次插值第64页，共99页，星期日，2025年，2月5日2.分段线性插值在每个子区间上，用1次多项式(直线)逼近f(x):记,易证：当时，一致yxoy=p(x)y=f(x)失去了原函数的光滑性。第65页，共99页，星期日，2025年，2月5日则是分段一次的连续函数且满足条件分段线性插值多项式的构造：即为分段线性插值的基函数。第66页，共99页，星期日，2025年，2月5日基函数只在附近不为零,在其它地方均为零。这种性质称为局部非零性质。相应的分段线性插值函数为：分段线性插值的误差估计：如果在上二阶连续可微,则分段线性插值函数的余项有以下估计其中,第67页，共99页，星期日，2025年，2月5日3.分段三次Hermite插值其中基函数为给定节点，在节点上的函数值及导数值分别为,在每个子区间上作两点三次Hermite插值，因此是分段三次，总体是直至一阶导数连续，插值函数为第68页，共99页，星期日，2025年，2月5日第69页，共99页，星期日，2025年，2月5日第70页，共99页，星期日，2025年，2月5日利用差商的定义,可得的系数:从而因此每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。2.牛顿插值公式第30页，共99页，星期日，2025年，2月5日3.牛顿插值余项由插值多项式的唯一性可知，故其余项也相同，即命题Newton插值多项式的余项为其中从而，第31页，共99页，星期日，2025年，2月5日例:给定的数据表2.202.402.602.803.000.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.分别写出二次、四次Newton插值多项式解:构造差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商第32页，共99页，星期日，2025年，2月5日余项第33页，共99页，星期日，2025年，2月5日四、等距节点插值引入(微商的离散化)：第34页，共99页，星期日，2025年，2月5日1．差分的定义设函数在等距节点上的值已知,这里为常数,称为步长，分别称为在处以为步长的一阶向前差分,一阶向后差分,以及一阶中心差分。高阶差分：定义2.4第35页，共99页，星期日，2025年，2月5日引进不变算子，移位算子，即则有第36页，共99页，星期日，2025年，2月5日2、差分表（差分计算）计算各阶向前差分可按如下差分表进行：第37页，共99页，星期日，2025年，2月5日计算各阶向后差分可按如下差分表进行：第38页，共99页，星期日，2025年，2月5日3、差分的性质性质1(差分与函数值的关系):各阶差分均可表示为函数值的线性组合:其中性质2(向前差分与向后差分的关系):性质3(差分与差商的关系):在等距节点的前提下，第39页，共99页，星期日，2025