第2章　平面向量及其应用 6.1　第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形--北师大版高中数学必修第二册课件（共59页PPT）.pptxVIP

;基础落实·必备知识一遍过;课程标准;;知识点一解三角形与三角形有关的几何计算

在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素.具体情形如下:

情形1已知两个角的大小与一条边的边长.

先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后依据正弦定理求得另外两条边的边长.

情形2已知两条边的边长及其夹角的大小.

先由余弦定理求出第三条边的边长,然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.;情形3已知三条边的边长.

由余弦定理求出两个角,再利用三角形内角和等于180°求出第三个角.

情形4已知两条边的边长和其中一边对角的大小.

首先,由正弦定理求出第二条边所对角的正弦,这时,要判断是两解、一解还是无解.然后,根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.;名师点睛

1.应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题?

(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角.

(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进而计算出其他的边和角.

2.应用余弦定理可以解决哪些解三角形问题?

(1)已知三角形的两边及其夹角,求其他的边和角.

(2)已知三角形的三边,求三个角.;思考辨析

1.已知三角形的两个内角及一边能否求三角形的面积?

2.在△ABC中,若a2+b2c2,能否判断△ABC的形状?;自主诊断

1.在△ABC中,B=60°,AB=3,AC=,则BC的长为()

A.2 B.1

C.1或2 D.无解;知识点二解三角形的实际应用

1.实际测量中的有关名称、术语;名称;2.距离问题的基本类型及求法;3.高度问题的基本类型及求法;思考辨析

1.某同学从家出发,先向东走了1000m,然后向北走了200m,你能用什么方法确定其方位?;2.如图,为了在河岸AC处测量河的宽度BC,你能找一个较适宜的方法吗?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)与海平面垂直的平面叫作铅垂平面.()

(2)仰角是视线与铅垂线的夹角.()

(3)高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.()

(4)两点间不可到达又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角???并求解.()

(5)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.();2.如图,设A,B两点在河的两岸,测量者与A在河的同侧,在河岸边选定一点C,测得AC的长为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为();;探究点一与解三角形有关的几何计算;解在△ABD中,设BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,

即142=x2+102-2·10x·cos60°,

整理得x2-10x-96=0,

解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.;规律方法解决此类问题要处理好两个关键点

(1)找出含有已知边的三角形,从中筛选出可解三角形.

(2)找出要求线段所在的三角形,确定所需条件.

解题时二者应结合,明确解题思路.;变式训练1在平行四边形ABCD中,AB=4,AC=4,∠BAC=45°,则AD=.?;角度2.证明问题;规律方法解决此类问题时,要灵活运用三角形中特有的恒等变形公式、三角形边和角的相互转换公式,主要是正弦定理和余弦定理,因此这类题型都可用不同的途径求解.;探究点二解三角形的实际应用;规律方法1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决.;变式训练3[2024陕西铜川高二期末]

如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都为30km,灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向,则灯塔A与灯塔B间的距离为();解析由题意可知AC=BC=30km,∠ACB=180°-20°-40°=120°,

由余弦定理可得;【例4】如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.;规律方法测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题,再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,最后运用正弦定理解决问题.;变式训练4如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上,距离为12