第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第14讲导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）

①导数的定义

②导数的运算

③求在曲线上一点的切线方程

④求过一点的切线方程

⑤切线问题中求参数的值(范围)

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、导数的概念和几何性质

1.概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．

注：增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有

多近，即可以小于给定的任意小的正数；

2.几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

二、导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3.复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

1.在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2.过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型一导数的定义】

求函数y=fx在

（1）求函数的增量Δy

（2）求平均变化率Δy

（3）得导数f′

【典例1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则.

一、单选题

1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，则（???）

A．1 B． C．2 D．4

2．（2024高三·全国·专题练习）设为R上的可导函数，且，则＝（????）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

3．（2023·上海青浦·一模）若函数在处的导数等于，则的值为（????）.

A． B． C． D．

【题型二导数的运算】

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数．

(1)；

(2)；

(3)．

一、多选题

1．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算不正确的是（????）

A． B． C． D．

2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）下列导数运算正确的是（????）

A． B．

C． D．

3．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

二、解答题

4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

(5)

(6)

(7)

(8)

5．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

【题型三求在曲线上一点的切线方程】

已知切点A(x0，f(x0))求切线方程，可先求该点处的导数值f′(x0)，再根据y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解．

【典例1】（2024·贵州遵义·三模）已知，则在处的切线方程是．

一、单选题

1．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）曲线在处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）函数在点处的切线方程是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

4．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

5．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

6．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（????）

A． B．1 C． D．

【题型四求过一点的切线方程】

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值

【典例1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程．

一、填空题

1．（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则.

2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）过原点的直线与相切，则切点的坐标是.

3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线过点的切线.则直线的方程为.

4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为.

5．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为.

【题型五切线问题中求参数的值(范围)】

1．利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式