第16练 导数与函数的极值、最值（精练：基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第16练导数与函数的极值、最值（精练）

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值.

3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

一、单选题

1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（????）

A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值

C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值

【答案】B

【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.

【详解】对于A，若存在是偶函数,取,

则对于任意,而,矛盾,故A错误；

对于B，可构造函数满足集合，

当时，则，当时，，当时，，

则该函数的最大值是，则B正确；

对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；

对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；

故选：B.

2．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.

【详解】，

所以在区间和上，即单调递增；

在区间上，即单调递减，

又，，，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

故选：D

3．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

二、多选题

4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（????）．

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，

因此方程有两个不等的正根，

于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.

故选：BCD

5．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（????）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

6．（2024·全国·高考真题）设函数，则（????）

A．当时，有三个零点

B．当时，是的极大值点

C．存在a，b，使得为曲线的对称轴

D．存在a，使得点为曲线的对称中心

【答案】AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，，由于，

故时，故在上单调递增，

时，，单调递减，

则在处取到极大值，在处取到极小值，

由，，则，

根据零点存在定理在上有一个零点，

又，，则，

则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；

B选项，，时，，单调递减，

时，单调递增，

此时在处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，

即存在这样的使得，

即，

根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，

于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

，若存在这样的，使得为的对称中心，

则，事实上，

，

于是

即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

，，，

由，于是该三次函数的对称中心为，

由题意也是对称中心，故，

即存在使得是的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（