第15练 导数与函数的单调性（精练：基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第15练导数与函数的单调性（精练）

1.结合实例，借助几何直观地了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（????）．

A． B．e C． D．

【答案】C

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：C．

二、填空题

2．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.

【答案】

【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，

则，即在区间上恒成立，

故，而，故，

故即，故，

结合题意可得实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

3．（2024·全国·高考真题）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，证明：当时，恒成立．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.

【详解】（1）定义域为，

当时，，故在上单调递减；

当时，时，，单调递增，

当时，，单调递减.

综上所述，当时，的单调递减区间为；

时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），且时，，

令，下证即可.

，再令，则，

显然在上递增，则，

即在上递增，

故，即在上单调递增，

故，问题得证

4．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．

(1)当时，求的单调区间.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.

【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；

【详解】（1），

当时，；当，；

在上单调递减，在上单调递增.

则的单调递减区间为，单调递增区间为.

5．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求的值；

(2)设函数，求的单调区间；

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；

（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；

【详解】（1）因为，所以，

因为在处的切线方程为，

所以，，

则，解得，

所以.

（2）由（1）得，

则，

令，解得，不妨设，，则，

易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上单调递减，在，上单调递增，

即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.

6．（2023·全国·高考真题）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程．

(2)若函数在单调递增，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；

（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

则，

据此可得，

所以函数在处的切线方程为，即.

（2）由函数的解析式可得，

满足题意时在区间上恒成立.

令，则，

令，原问题等价于在区间上恒成立，

则，

当时，由于，故，在区间上单调递减，

此时，不合题意;

令，则，

当，时，由于，所以在区间上单调递增，

即在区间上单调递增，

所以，在区间上单调递增，，满足题意.

当时，由可得，

当时，在区间上单调递减，即单调递减，

注意到，故当时，，单调递减，

由于，故当时，，不合题意.

综上可知：实数得取值范围是.

【点睛】方法点睛：

（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．

②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．

7．（2023·全国·高考真题）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)在上单调递减

(2)

【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；

（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；

法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三