第14练 导数的概念及其意义、导数的运算（精练：基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第14练导数的概念及其意义、导数的运算（精练）

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.

2.能根据导数的定义求函数y=c（c为常数），y=x,y=x2,

3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（限于形如fax

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.

【详解】，

则，

即该切线方程为，即，

令，则，令，则，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.

故选：A.

2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.

【详解】设曲线在点处的切线方程为，

因为，

所以，

所以

所以

所以曲线在点处的切线方程为.

故选：C

二、填空题

3．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.

【答案】

【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【详解】由得，，

故曲线在处的切线方程为；

由得，

设切线与曲线相切的切点为，

由两曲线有公切线得，解得，则切点为，

切线方程为，

根据两切线重合,所以，解得.

故答案为：

4．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．

【答案】

【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；

【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求

分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；

解：因为，

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；

[方法二]：根据函数的对称性，数形结合

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

因为是偶函数，图象为：

所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.

[方法三]：

因为，

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

故答案为：；.

5．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．

【答案】

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

【A级?基础巩固练】

一、单选题

1．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用求导公式和求导法则进行判断即可.

【详解】，故A错误；

因为是个常数，所以，故B错误；

，故C正确；

，故D错误．

故选：C．

2．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数,则（????）

A． B． C． D．-3

【答案】C

【分析】两边分别求导,再赋值即可解决.

【详解】两边求导,得,令,即,解得.

故选：C.

3．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.

【详解】由，则，

，所以在处切线的方程为，即，

令，得；令，得，

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.

故选：A.

4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可.

【详解】函数，求导得