第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第16讲导数与函数的极值、最值（精讲）

①求函数的极值与极值点

②极值、极值点中的参数问题

③求函数的最值

④最值中的参数问题

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、函数的极值

1.定义

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

2.求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

二、函数的最值

1.定义

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

2.求可导函数最值的一般步骤

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（3）对于任意的，总存在，使得；

（4）对于任意的，总存在，使得；

（5）若存在，对于任意的，使得；

（6）若存在，对于任意的，使得；

（7）对于任意的，使得；

（8）对于任意的，使得；

（9）若存在，总存在，使得

（10）若存在，总存在，使得．

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型一求函数的极值与极值点】

利用导数研究函数极值问题的一般流程

【典例1】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点.

(1)求实数的值；

(2)求函数的极值.

【答案】(1)6

(2)的极大值为；极小值为

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，以及切点，然后写出切线方程，再将点代入可求；

（2）由（1）得到函数解析式，求极值步骤：①求导，②求导函数零点，③列表，④下结论即可求得极值.

【详解】（1），所以，即切线斜率为2，

又，所以切点坐标为

的图象在处的切线方程为：，

代入点，得；

（2）由（1）得，

，

令，得或

当变化时，变化情况如下表：

2

3

0

0

单调递增

单调递减

单调递增

因此，时，取得极大值，极大值为；

时，取得极小值，极小值为.

一、单选题

1．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.

【详解】函数的定义域为，

又，

令，则或，所以当或时，当时，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为．

故选：D．

2．（2024·陕西西安·模拟预测）函数的极小值点为（????）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.

【详解】因为，

所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2．

故选：A

3．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（????）

A．在处取得最大值

B．在区间上单调递减

C．在处取得极大值

D．在区间上有2个极大值点

【答案】C

【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值.

【详解】由导函数的图象可知：

0

0

非负

递增

极大值

递减

极小值

递增

故选：C

4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数，则函数（????）

A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值

C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值

【答案】B

【分析】求出函数的定义域与