15.4 综合与实践 最短路径问题 课件人教版（2024）八年级上册.ppt

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？CABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.实际问题ABl探求新知抽象成现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解：连接AB,与直线l相交于一点C.问题1：AlBC如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.想一想问题2：作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．ABlB′CC′问题3：例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.B典例解析1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）DPQlAM跟踪训练PQlBMPQlCMPQlDM2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.牧民饮马问题的拓展活动二任务1牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短？草地A河抽象成Al1l2知识点2作法：（1）作点A关于直线l1的对称点A′；（2）作点A关于直线l2的对称点A″；（3）连接A′A″，与直线l1相交于点B,与直线l2相交于点C.（4）路线AB-BC-CA即为最短路径.知识点2你能用你学过的知识证明AB+BC+CA最短么？证明：在直线l1上任意取一点D，在直线l2上任意取一点E，连接AD，AE，DE，A′D，A″E，由轴对称的性质知，AD=A′D，AE=A″E，AB=A′B，AC=A″C，所以AD+DE+AE=A′D+DE+A″E＞A′A″，因为A′A″=A′B+BC+A″C=AB+BC+AC，所以AB+BC+AC最短.任务2牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短？草地A河B抽象成Al1l2B知识点2作法：（1）作点A关于直线l1的对称点A′；（2）作点B关于直线l2的对称点B′；（3）连接A′B′，与直线l1相交于点C,与直线l2相交于点D.（4）路线AC-CD-DB即为最短路径.知识点2你能用你学过的知识证明AC+CD+DB最短么？证明：在直线l1上任意取一点E，在直线l2上任意取一点F，连接AE，A′E，EF，BF，B′F，由轴对称的性质知，AE=A′E，BF=B′F，AC=A′C，BD=B′D，所以AE+EF+BF=A′E+EF+B′F＞A′B′，因为A′B′=A′C+CD+B′D=AC+CD+DB，所以AC+CD+DB最短.任务3牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处饮马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A出发，到B处饮马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路程最短？