2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第5节　椭 圆.docxVIP

第5节椭圆

课标要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.

【知识梳理】

1.椭圆的定义

(1)如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a|F1F2|,则平面内满足______________的动点P的轨迹称为椭圆,其中两个定点F1,F2称为椭圆的,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的.

(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

①若________，则集合P为椭圆；

②若________，则集合P为线段；

③若________，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，

A2(a，0)，

B1(0，－b)，

B2(0，b)

A1(0，－a)，

A2(0，a)，

B1(－b，0)，

B2(b，0)

轴

长轴A1A2的长为________；短轴B1B2的长为________

焦距

|F1F2|＝________

离心率

e＝eq\f(c,a)∈________

a，b，c

的关系

c2＝________

[常用结论与微点提醒]

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，

(1)△PF1F2周长为2a＋2c；

(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c；

(3)S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc.

(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2.

(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()

(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()

(3)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()

(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)的焦距相同.()

2.(人教A选修一P109T1原题)如果椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是________.

3.(湘教选修一P126T3改编)若直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为________.

4.(北师大选修一P57T2改编)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点相同，且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))的椭圆的标准方程为________.

考点一椭圆的定义及应用

例1(1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()

A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线 D.双曲线的一支

(2)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝()

A.1 B.2

C.4 D.5

(3)已知F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________.

思维建模椭圆定义的应用技巧

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