2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第4节　数列中的构造问题.docxVIP

第4节数列中的构造问题

题型分析求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.

题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型

角度1an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)

例1在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)an－1＋2(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________.

角度2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)

例2(2025·广东大联考)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为________.

角度3an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)

例3(2025·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝()

A.－3×2n－1 B.3×2n－1

C.5n＋3×2n－1 D.5n－3×2n－1

思维建模1.形如an＋1＝αan＋β(α≠0，1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列.

2.递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0，1，β≠0，γ≠0，1)，两边同时除以γn＋1后得到eq\f(an＋1,γn＋1)＝eq\f(α,γ)·eq\f(an,γn)＋eq\f(β,γ)，转化为bn＋1＝kbn＋eq\f(β,γ)(k≠0，1)的形式，通过构造公比是k的等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(β,γ（1－k）)))求解.

训练1(1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.

(2)(2025·烟台质检)若数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝3n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.

题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)型

例4已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.

思维建模可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.

训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.

题型三倒数为特殊数列(形如an＋1＝eq\f(pan,ran＋s)型)

例5已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋3)，则an＝________.

思维建模两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表达式，再求an.

训练3(2025·重庆诊断)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)(n∈N*)，则()

A.an＝eq\f(1,n) B.an＝eq\f(1,2n－1)

C.an＝eq\f(2n－1,4n－3) D.an＝eq\f(1,4n－3)