2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第6节　数列中的奇偶项、放缩问题.docxVIP

第6节数列中的奇偶项、放缩问题

题型分析1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.2.证明数列不等式，有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩.

题型一奇偶项问题

角度1含有(－1)n的类型

例1已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.

角度2已知条件明确的奇偶项问题

例2(2023·新高考Ⅱ卷节选)已知an＝2n＋3，bn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－6，n是奇数，,2an，n是偶数.))记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，证明：当n5时，TnSn.

思维建模1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和；

2.对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.

训练1已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(－1)n·log2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

题型二放缩问题

角度1先求和再放缩

例3(2025·丽水、湖州、衢州模拟)设等差数列{an}的公差为d，记Sn是数列{an}的前n项和，若S5＝a3＋20，S15＝a2a3a8.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若d0，bn＝eq\f(4Sn,an·an＋1)(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tnn＋eq\f(1,2).

思维建模先对通项进行化简变形，再对数列求和(可以等差、等比数列求和、错位相减、分组求和、倒序相加、裂项相消求和等)，再对最后的和进行放缩，完成解题目标.

角度2先放缩再求和

例4(2025·重庆部分学校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1.

(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)－\f(2,3)))为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)，证明：Tneq\f(7,4)对任意n∈N*恒成立.