图象和性质 (12大类型精准练+过关检测) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

图象和性质 (12大类型精准练+过关检测) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docx

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专题10y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象和性质

内容导航——预习三步曲

第一步:学

析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识:X大核心考点精准练

第二步:记

串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步:测

过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1:二次函数的图象和性质

温馨提示:二次函数的对称性及最值问题

对于二次函数y=a(x-h)2(a≠0)图象上的点,当图象开口何上,到对你抽的距离越大,到对应的函数值就越大;当图象开口何下,点到对你抽的距离越大,则对应的函数值就越;若两点到对你轴的距离相等,则对应的函数值相等,观察图象可得以上规律

【课前热身】

1.(24-25九年级上·北京通州·阶段练习)抛物线的顶点坐标为(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】本题是关于二次函数的顶点坐标的问题,掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键.

【详解】解:抛物线的顶点坐标为,

故选:D.

2.(24-25九年级上·全国·假期作业)对于二次函数,下列结论正确的是()

A.y随x的增大而增大 B.当时,y随x的增大而增大

C.当时,y随x的增大而增大 D.当时,y随x的增大而增大

【答案】D

【分析】本题考查的是二次函数的增减性,由,抛物线开口向上,而对称轴为直线,可得答案;

【详解】解:∵二次函数,

由于,抛物线开口向上,

而对称轴为直线,

所以当时,y随x的增大而增大.

故选D

3.(2022九年级上·全国·专题练习)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式,即y=a(x-h)2+k,其中a决定了抛物线的开口方向,对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k);根据所给出的三个函数解析式,对照以上规律确定答案.

【详解】(1)开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0).

(2)开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-7).

(3)开口向上,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,6)

【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系.

4.(24-25九年级上·全国·课后作业)在同一坐标系中画出下列函数的图象,观察抛物线,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性.

x

0

1

2

3

4

(1);

(2);

(3).

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质.根据二次函数的作图方法,再根据图像即可求解各性质.

【详解】(1)解:列表如下:

x

0

1

2

3

4

0

0

0

画图如下:

;,开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为.当时,y随x增大而增大,当时,y随x的增大而减小;

(2)解:,开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小;

(3)解:,开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小.

知识点2:二次函数的图象和性质

【课前热身】

1.(2025·山东潍坊·三模)关于抛物线,下列说法中错误的是(???)

A.开口方向向上 B.对称轴是直线

C.顶点坐标为 D.当时,随的增大而减小

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质,依据题意,根据所给顶点式即可逐个判断进而得解,解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

【详解】解:由题意,抛物线为,

抛物线开口向上,对称轴是直线,顶点为,当时,随的增大而增大,

故A、C、B正确,均不符合,D错误,符合题意.

故选:D.

2.(2024·黑龙江哈尔滨·中考真题)二次函数的最小值是(???)

A. B.1 C.2 D.3

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质,掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键.

根据二次函数的顶点式,直接判断最小值.

【详解】解:二次函数,顶点坐标为,

∵,

∴当时,有最小值3,

故选:D.

3.(24-25九年级上·陕西西安·期中)已知二次函数.

(1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;

(2)当取什么范围时,随的增大而增大?

【答案】(1)开口向下,对称轴为直线,顶点坐标

(2)

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

(1)根据二次项系数可判断开口方向,再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可;

(2)利用开口方向和对称轴即可解答.

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