根与系数的关系 (8大类型精准练+过关检测) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

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根与系数的关系（8大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：X大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

1.一元二次方程根与系数的关系

如果方程有两个实数根，那么

文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比

使用条件：

(1)方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0：

(2)方程有实数根，即△≥0

2.有关根与系数的关系的两个重要推论

（1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是

（2）如果方程的两个实数根是，那么

3.几种主要的代数式求值问题

【课前热身】

1．判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）有两个不相等的实数根，，；

（2）有两个相等的实数根，，；

（3）有两个不相等的实数根，，；

（4）有两个不相等的实数根，，．

【分析】各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积．

【详解】解：（1），

，，，

△

，

方程有两个不相等的实数根，

设方程的两个根为：，，

；

（2），

，，，

△

，

方程有两个相等的实数根，

设方程的两个根为：，，

；

（3），

，，，

△

，

方程有两个不相等的实数根，

设方程的两个根为：，，

；

（4），

，，，

△

，

方程有两个不相等的实数根，

设方程的两个根为：，，

．

【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．

2．已知，是方程的两根，求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）．

【分析】（1）、（2）直接根据根与系数的关系求解；

（3）先利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】解：（1）；

（2）；

（3）．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

3．已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值．

【分析】根据根与系数的关系可求得两根的和及两根的积，又知一根为1，则根据根与系数的关系，可解得另一个根及的值．

【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系，

得，，又知，

则，，，．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系．

4．方程的两根之和与两根之积都等于10，求，的值．

【答案】的值为1，的值为．

【分析】根据方程两根之和为，两个之积为及方程的两根之和与两根之积都等于10列出方程组可得答案．

【详解】解：方程的两根之和与两根之积都等于10，

，

解得，

经检验，是原方程组的解，

的值为1，的值为．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程两根之和为，两个之积为．

【题型1】不解方程求两根之和与两根之积

1．（2025?汇川区四模）已知，是方程的两个实数根，则的值为

A． B．1 C． D．3

【答案】

【分析】利用根与系数的关系，即可求出的值．

【详解】解：，是方程的两个实数根，

．

故选：．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

2．（2025春?界首市期中）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则1．

【答案】1．

【分析】把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．

【详解】解：由根与系数关系可知：，

故答案为：1．

【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．熟练掌握根与系数关系是解题的关键．

3．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．

（1）；

（2）．

【分析】（1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可；

（2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可．

【详解】解：（1），

整理得：，

则，；

（2），

整理得：，

则，．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键．

4．求下列方程两根的和与两根的积：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解．

【详解】解：（1）设，是的两根，

则，；

（2）变形为，

设，是的两根，

则，；

（3）设，是的两根，

则，；

（4）变形为，

设，是的两根，

则，．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，