新课标高考总复习数学59第七章第7课时向量法求空间角99.pdfVIP

第七章立体几何与空间向量

第7课时向量法求空间角

第7课时向量法求空间角

[考试要求]1.能用空间向量的方法解简单的线线、线面、面面的夹

角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．

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链接教材·夯基固本

1．异面直线所成的角

若异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝

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|cos〈u，v〉|＝________.

2．直线与平面所成的角

如图，直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面

α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法

向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝_________.

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3．平面与平面的夹角

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角

中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向

量分别是n和n，则平面α与平面β的夹角即为向量n和n的夹角或

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其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n，n〉|＝

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_________.

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[常用结论]

最小角定理

如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的

射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ为

1

OA与OB所成的角，即线面角，θ为OB与OC所成的角，那么cosθ＝

2

cosθcosθ.

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一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×

)

(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面

×

α所成的角．()×

(3)若二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.()

√

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二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第一册P例7改编)已知直线l的方向向量s

3611

＝(1,0,1)与直线l的方向向量s＝(－1,2,－2)，则l和l夹角的余弦值

2212

为(