新课标高考总复习数学51第六章第5课时数列的综合应用84.pdfVIP

第5课时数列的综合应用

考点一数列模型的应用

[典例1]容器A内装有6L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4L质

量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1L进入B内，再将B内的盐水倒

1L进入A内，将这样的过程称为一次操作．这样反复操作n次，A，B容器内

的盐水的质量分数分别为a，b.

nn

(1)求a，b，并证明{a－b}是等比数列．

11nn

(2)要使A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%，至少操作多少次？(取lg2≈0.301

0，lg3≈0.4771)

(3)求a，b的表达式．

nn

11121219

解：(1)由题意，b＝×(＋4×)＝，a＝×(＋5×)＝.

15520251625550

an＋4bn126an＋4bn

因为b＝，a＝(5a＋b)＝，

n＋15n＋16nn＋130

2112

所以a－b＝(a－b)，又a－b＝，所以{a－b}是以为首项，为公

n＋1n＋13nn1110nn103

比的等比数列．

12

(2)由(1)知a－b＝×n－1，

nn10(3)

12

所以10×(3)n－1＜1%，

1

所以n－1＞≈5.7，

lg3－lg2

所以n≥7，故至少操7次．

11232

(3)因为b＝[bn＋×()n－1＋4bn]，所以b－b＝×n，

n＋15103n＋1n100(3)

23

所以当n≥2时，b＝b＋(b－b)＋(b－b)＋…＋(b－b)＝＋×

n12132nn－125100

22

…()n－1

[3＋＋3]

927

＝－×()n＋，

100350

927

n＝1时，也满足上式，故b＝－×n＋.

n100(3)50

12327