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极化恒等式的应用
1
22
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)－(a－b)]．
4
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
1
线”与“差对角线”平方差的.
4
在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则
→→1→→
ABACAD2BC2
(1)平行四边形模式：·＝(||－||)．
4
→→→1→
ABACAO2BC2
(2)三角形模式：·＝||－||.
4
(3)关联定理之平行四边形定理
(4)推广定理之矩形大法
题型一求数量积
[典例1](1)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()
A．1B．2
C．3D．5
→→
BACA
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·
→→→→
BFCFBECE
＝4，·＝－1，则·的值为.
711
22
(1)A(2)[(1)因为a·b＝[(a＋b)－(a－b)]＝×(10－6)＝1，所以a·b＝1.
844
→→→→→→→→→→
DCDFBACAAD2BD222BFCFFD2BD2
(2)设＝a，＝b，·＝||－||＝9b－a＝4，·＝||－||＝
513→→→→7
2222BECEED2BD222
b－a＝－1，解得b＝，a＝，所以·＝||－||＝4b－a＝.]
888
利用极化恒等式求数量积的步骤
(1)取第三边的中点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
[跟进训练]
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