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专题7与角平分线有关的问题
类型一利用角平分线直接找全等三角形
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB
类型二利用“角平分线+垂直”构造全等三角形
2.如图,在△AOB中,OA=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交OA于点D,AE
类型三利用角平分线在角两边截取两条相等的线段构造全等三角形
3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,且两线交于点O.
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:AC=AE+CD.
4.如图,P是∠BAC的平分线AD上一点,ACAB,求证:PC-PBAC-AB.
类型四利用角平分线作垂线构造直角三角形全等
5.如图,在四边形ABCD中,BCDA,AD
求证:(1
2BH
类型五由全等三角形的对应高相等证明两角相等
6.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE,AD,BE交于点H,连接CH.
求证:(1)△ACD≌△BCE;
(2)HC平分∠AHE.
模型积累
【模型】角平分线+垂直
【条件】BD平分∠ABC,BD?
【结论】(1)△ABD≌△EBD;(2)AD=DE. 【结论】(1)△BDE≌△BDC;(2)ED=DC.
专题7与角平分线有关的问题
1.证明:∵AO平分∠BAC,∴∠CAO=∠EAO.
在△AOC和△AOE中{
∴△AOC≌△AOE(SAS),∴∠ACD=∠AEO.
在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°,
∴∠ACD=∠B,∴∠AEO=∠B,∴OE∥BC.
2.证明:如答图,延长BO,AE交于点F.
∵BD平分∠ABO,AE⊥BD,
∴∠1=∠2,∠AEB=∠FEB=90°.
在△ABE和△FBE中{
∴△ABE≌△FBE,∴AE=EF.
∵∠AOB=90°,∠AED=90°,∠ADE=∠BDO,
∴∠2=∠OAF.
∵∠AOB=90°,∴∠DOB=∠FOA=90°.
在△OBD和△OAF中{
∴△OBD≌△OAF,∴BD=AF.
∵AE=EF,∴BD=2AE.
3.(1)解:∵∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠
∠B)=60°,∴∠AOC=120°.
(2)证明:如答图,在AC上截取AF=AE,连接OF.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
在△AOE和△AOF中,{
∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF.
由(1)知∠AOC=120°,∴∠AOE=60°,
∴∠
∵CE平分∠ACB,∴∠FCO=∠DCO.
在△COF和△COD中,{
∴△COF≌△COD(ASA),∴CF=CD,
∴AC=AF+CF=AE+CD.
4.证明:如答图,在AC上截取AE,使AE=AB,连接PE.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
在△AEP和△ABP中,{
∴△AEP≌△ABP(SAS),∴PE=PB.
在△PCE中,PC--PECE,
∴PC--PEAC-AE,∴PC-PBAC-AB.
5.证明:(1)如答图,过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E.
∵BD平分∠ABC,DH⊥BC,∴DH=DE.
在Rt△ADE和Rt△CDH中,{
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL),∴∠C=∠DAE.
∵∠DAB+∠DAE=180°,∴∠DAB+∠C=180°.
(2)在Rt△BDE和Rt△BDH中BD
∴Rt△BDE≌Rt△BDH(HL),∴BE=BH.
∵Rt△ADE≌Rt△CDH,∴AE=CH,
∴AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH,
∴
6.证明:(1)∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中{
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)如答图,过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N.
∵△ACD≌△BCE,∴∠CAM=∠CBN,在△ACM和△BCN中{
∴△ACM≌△BCN,∴CM=CN.又CM⊥AH,CN⊥HE,∴HC平分∠AHE.
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