数值分析数值计算与误差分析.pptVIP

在实数系中，每一个实数可以有无穷位，不同的实数代表数轴上不同的点；在计算机数系中，每一个数只有有限位，只有部分有理数能被计算机数系中的数精确表示。浮点数：36.83=0.3683×102=0.03683×103这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的浮点形式。实数x的十进制浮点形式为x=?0.a1a2...ak…?10c,尾数阶码ai?{0,1,2,…,9},c∈Z基数a1≠0,(1)称为x的规格化的浮点形式(1)1、计算机数系第30页，共79页，星期日，2025年，2月5日x的k位十进制机器数fl(x)可用两种方法定义：（1）截断式fl(x)=?0.a1a2...ak?10cx=?0.a1a2…akak+1…?10c(2)四舍五入式x的k位规格化十进制机器数y=?0.a1a2...ak?10c,y=fl(x)ai?{0,1,2,…,9},a1?0，L?c?U,k是机器数的字长；L、U是常数。第31页，共79页，星期日，2025年，2月5日一般数制情况：k位规格化机器数y=?0.a1a2...ak??c,?=2,8,10,16,ai?{0,1,2,…,?-1},L?c?U,a1≠0F(?,k,L,U)表示以上数集全体加数0，它是计算机中使用的有限离散数集(机器数系）。F(?,k,L,U)中的数称为机器数。F(10,4,-33,33)，y=?0.a1a2a3a4?10c在此机器数系中表示fl().p第32页，共79页，星期日，2025年，2月5日例5在机器数系F(10,4,-33,33)中表示fl(п).若浮点数的阶码不在[L,U]内，则出现上溢或下溢。采用截断式fl(п)=0.3141×10采用四舍五入式fl(п)=0.3142×10但是例如在4位机器数系F(10,4,-33,33)中输入出现下溢，输入出现上溢。Floatgui.m第33页，共79页，星期日，2025年，2月5日2、绝对误差和相对误差定义：设数a是精确值，x是a的一个近似值，记第34页，共79页，星期日，2025年，2月5日例6已知准确值a=3.1415926…是一个无限不循环小数，求截取不同位数后的近似值和误差界。解：3、有效数字第35页，共79页，星期日，2025年，2月5日第36页，共79页，星期日，2025年，2月5日例7:以下近似数是经四舍五入得到的x1=0.12,x2=0.120,x3=1.73,x4=0.00073,x5=73000x6=0.73*103问它们分别有几位有效数字?解：x1=0.12有2位有效数字,x2=0.120,有3位有效数字。x3=1.73有3位有效数字,x4=0.00073有2位有效数字。x5=73000有5位有效数字，x6=0.73*103有2位有效数字。例8:设x=219.15456为真值x*=219.15123的近似，则x有几位有效数字?答案:5位第37页，共79页，星期日，2025年，2月5日例:考虑1.x=11,a=10,e=1,er=0.12.x=1001,a=1000,e=1,er=0.001当某个量的准确值很小或很大时，相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异。一个近似值的准确程度，不仅与绝对误差的大小有关，而且与准确值本身的大小有关。第38页，共79页，星期日，2025年，2月5日例9：设计算机数系为F(10,t,L,U),将实数x=±0.a1a2…atat+1…×10c,(a1≠0),用四舍五入法表为机器数fl(x);求其有效数字、绝对误差限、相对误差限。解：相对误差为绝对误差为：机器数的相对误差与x无关，只与字长t有关。定义eps=0.5×10-t+1为机器精度。fl(x)有t位有效数字。第39页，共79页，星期日，2025年，2月5日注：（1）在数值计算中，尽可能多地保留近似数的有效数字，有效数字越多，相对误差越小，计算结果越精确。（2）对IEEE国际通用标准双精度数系机器精度Eps=2.2204e-16最小实数Realmin=2.2251e-308最大实数Realmin=1.7