第三讲有限元数学原理.pptVIP

物理方程：由广义虎克定律有整理得边界条件。弯矩第30页，共77页，星期日，2025年，2月5日x方向平衡y方向平衡。第31页，共77页，星期日，2025年，2月5日求解方程得其中c1,c2,c3是待定系数。最后可得第32页，共77页，星期日，2025年，2月5日讨论应变能外力功势能第33页，共77页，星期日，2025年，2月5日由于单元有四个位移分量，可设梁单元的位移模式v(x)为包含4个待定常数的三次多项式：有限元分析步骤-单元分析第34页，共77页，星期日，2025年，2月5日根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。式中第35页，共77页，星期日，2025年，2月5日根据梁的平面假定可知梁单元的轴向应变为：这里利用平面假设（变形后横截面仍保持平面，与纵线正交）如图：第36页，共77页，星期日，2025年，2月5日从而可以由单向虎克定律得出单元的轴向应力：第37页，共77页，星期日，2025年，2月5日由虚功原理可以推得第38页，共77页，星期日，2025年，2月5日3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法直接针对原始三大类方程边界条件下求解三大类变量往往是非常困难的，尤其是当几何形状和边界条件比较复杂时，一般求不出相应的解析解。如果事先假定满足一定边界条件的试函数，再在此基础上进行近似求解，则可以大大降低求解难度。这种试函数方法可以使得求解过程比较规范和简单，并有一定的适应性，但是求解的精度有所降低。第39页，共77页，星期日，2025年，2月5日试函数方法的基本原理：先假定满足一定边界条件的试函数，然后将其带入需要求解的方程中（控制方程），通过使与原来的方程的误差残值最小来确定试函数中的待定系数。为了提高解或逼近精度，可以采用较多项数的试函数来进行计算，这种方法叫做加权残值法。加权残值法WRM:Galerkin加权残值残值最小二乘法第40页，共77页，星期日，2025年，2月5日3.2.1梁弯曲问题近似求解的Galerkin加权残值法设满足以下方程和边界条件的位移场为公式中的L为微分算子。由于平面弯曲梁的平衡方程为故第41页，共77页，星期日，2025年，2月5日假设能找到事先满足式中的边界条件的一个试函数，将其带入到控制方程，则一定存在残差，记为对于更一般的情形，设有一组满足所有边界条件的试函数，将其线性组合为新的试函数其中c1,c2,c3…cn为待定系数。第42页，共77页，星期日，2025年，2月5日将试函数代入原始方程组，则必有残差，真实的c1,c2,c3…cn使得残值的积分为零，即其中w1,w2,w3…wn为权函数。以上为关于c1,c2,c3…cn的方程组，由上式可以求出他们，最后由线性组合形式的试函数得到真实。如果将权函数w1,w2,w3…wn取为?1,?2,?3…?n，则该方法称作伽辽金法。第43页，共77页，星期日，2025年，2月5日受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解代入控制方程得残差由Galerkin加权残值方程分析可得，试函数取为第44页，共77页，星期日，2025年，2月5日求解上式可得第45页，共77页，星期日，2025年，2月5日受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解代入控制方程得残差由Galerkin加权残值方程分析可得取另一个试函数为第46页，共77页，星期日，2025年，2月5日求解上式可得第47页，共77页，星期日，2025年，2月5日受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解同时满足面力边界条件，根据Galerkin法分析可得第48页，共77页，星期日，2025年，2月5日几种函数结果比较1、仅仅取1项试函数时，由伽辽金加权残数法得到的结果与精确解得相对误差为0.3861%。2、仅仅取2项试函数时，由伽辽金加权残数法得到的结果与精确解得相对误差为-0.027%。由以上比较可以看出，此解法精度还是比较高的。第49页，共77页，星期日，2025年，2月5日3.2.2梁弯曲问题近似求解的最小二乘法同样，设有满足所有边界条件的试函数，若将试函数代入原始方程中，则必有残差值，真实地待定常数使得残差值平方的加权积分取极小值，即其中w为