2025年上海市暑假新高一数学教材同步自学课专题10不等式的性质含详解.docxVIP

暑假预习专题10不等式的性质

知识点1实数(代数式)大小的比较

对于两个实数,.

如果是正数,就称大于,记为.

如果是负数,就称小于,记为.

如果是零,就称等于,记为．这就是说

这是研究一切不等式的基础.

显然,对于任意给定的两个实数

(1)“”的左边反映的是实数的大小关系,右边反映的是实数的运算性质,合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小,只需比较它们的差与0的大小。

知识点2不等式的性质

（1）传递性设,,均为实数,如果,且,那么．

（2）加法性质设,,均为实数,如果,那么．

（3）乘法性质设,,均为实数,如果,且,那么bc,如果,且,那么．

性质名称

性质内容

移项法则

同向可加性

同向可加性的推论

同向同正可乘性

,

同向同正可乘性的推论

,

正数乘方性

正数可开方性

知识点3数(式)比较大小的方法

1.作差法,作商法,平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法

①作差法的步骤:作差,变形,判断差的符号,得出结论②作商法的步骤:作商,变形,判断商与1的大小,得出结论,③平方法的步骤:两边平方,变形,作差,判断差的符号,得出结论.

2．介值比较法也是比较大小的常用方法,其实质是不等式的传递性：若,则,若,那么．其中是介于与之间的值,此种方法的关键是通过恰当的放缩,找出一个比较合适的中介值．

知识点4用比较法证明不等式

证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法.

采用作差比较法,将不等式左右两边的式子作差,然后将其进行适当的变形,放缩,再利用不等式的传递性,可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时,作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式,这样有利于判断符号.

知识点5常用不等式(定理)

定理对任意的实数,总有,且等号当且仅当时成立.

当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有,反之当时,才能有不等式中的相等成立．

题型一,由已知条件判断所给不等式是否正确

例1（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a,b满足,则下列不等式一定成立的是（???）

A． B． C． D．

1-1（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①,②,③,④,成立的有（????）个

A．1 B．2 C．3 D．4

1-2（24-25高一上·上海·期末）若实数,,满足,,则（????）

A． B． C． D．

1-3（24-25高一上·上海·期末）已知,,且满足,则下列不等式中恒成立的是（????）

A． B． C． D．

题型二,由不等式的性质比较数（式）大小

例2（24-25高一上·上海·期末）若,,则一定有（????）

A． B． C． D．

2-1（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数,则“”是“”的（????）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

2-2（24-25高一上·上海闵行·期末）设,,,为实数,下列命题中成立的是（????）

A．如果,那么 B．如果,那么

C．如果,,那么 D．如果,,那么

2-3（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数,那么“”是“”的条件（填“充要”,“充分非必要”,“必要非充分”,“既不必要也不充分”）.

2-4（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为.（1）若,则,,（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0,（3）若a,b为正数,则,（4）设,若,则xy的取值范围为.

题型三,作差法比较代数式的大小

例3（24-25高一上·上海·期中）若,设,则的大小关系为.

3-1（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若,则,②若,则,③对于正数若,则．其中真命题的序号是．

3-2（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知,比较与的大小.

已知,,若,求证：和中至少有一个大于.

3-3（24-25高一上·上海黄浦·期中）设,,,是四个正数．

(1)已知,比较与的值的大小.

(2)若,求证：,,,中至少有一个小于1．

题型四,作商法比较代数式的大小

例4（23-24高一上·北京·阶段练习）设,,则（填入“＞”或“＜”）．

4-1（22-23高一·全国·课后作业）若,求证：．

4-2（