2025年上海市暑假新高一数学教材同步自学课专题11一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解含详解.docxVIP

暑假预习专题11一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解

一元一次不等式的求解

在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式.

形如的式子叫做一元一次不等式,有四种形式：,,,.

一元一次不等式组的求解

将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组,求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解.

最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况

不等式组

图示

解集

口诀

同大取大

同小取小

大小小大

中间找

大大小小

是空集

含参一元一次不等式(组)的求解

含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论,引起分类讨论的原因在于不等式的性质,注意讨论时要考虑周全.

特殊一元二次不等式的求解

定义设a,b,c为实数,且,形如或的不等式统称为一元二次不等式．

特别地,形如的求解,遵循＂大于分两边,小于夹中间＂的原则．

（1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为1,这里即,但不等式中也可以包含其他字母,如,,等,这里的,,为系数,即为常数．

＂次＂是指不等式的最高次项的次数,这里的最高次项为,次数为2,即二次．注意二次项系数不为0,即．若,则二次项不存在,不等式实质为一元一次不等式（其中）．在解题的要注意,若未说明二次项系数不为0,则需分类讨论,求不等式的解集．

利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集

设方程的判别式0或,其两根记为,,且,一元二次不等式的求解结果总结成下表：

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

解集为

二次函数与一元二次方程,不等式的对应关系

一元二次方程的两根为,且,其解按照可分三种情况．相应地,二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．

类别

.

二次函数的图像

一元二次方程

的根

有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根

的解集

x

的解集

.

题型一,解不含参数的一元一次不等式

例1（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解,则的取值范围是.

1-1（24-25高一上·上海·期中）已知,若关于的不等式的解集为,则.

1-2（24-25高一上·上海·随堂练习）若,,当时,则实数a的取值范围是.

1-3（24-25高一上·上海·随堂练习）若,则的取值范围为．

题型二,解含参数的一元一次不等式

例2（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（????）

A． B． C． D．

2-1（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为,则实数a的值为.

2-2（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为,则实数

2-3（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式,其中．

题型三,一元二次不等式的概念及辨析

例3（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为,则不等式的解集为（???）

A． B．

C． D．[2,3]

3-1（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式：形如的不等式统称为一元二次不等式,其中,,为实数,且．

3-2（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为.

（1）的取值范围为.

（2）用表示,为.

（3）不等式的解集为.

（4）0,（填“”或“”）

（5）不等式的解集为.

3-3（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式在求解时应当注意些什么？

3-4（20-21高一上·上海·课后作业）解下列不等式：

（1）,?????????

（2）,????????

（3）

题型四,解不含参数的一元二次不等式

例4（24-25高一上·上海金山·期末）设集合,集合,若中恰有一个整数,则实数a的取值范围（????）

A． B． C． D．

4-1（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4-2（24-25高一上·上海金山·阶段练习）设,则方程的解集为．

4-3（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是,则的解集为．

4-4（