2025年上海市暑假新高一数学教材同步自学课专题14幂函数含详解.docxVIP

暑假预习专题14幂函数

幂函数的概念

定义当指数固定,等式确定了变量随变量变化的规律,称为指数为的幂函数．

使得有意义的的取值范围,称为此冪函数的定义域．幂函数的定义域可以是不相同的,它与指数的值有关．

幂函数的定义域由指数决定,指数不同,幂函数的定义域是不同的．特别地,当指数取有理数时（为正整数,为整数）,幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体．

幂函数的图像

作函数的大致图像的步骤：列表一描点一连线．在平面直角坐标系中把满足的一切点描绘出来,就构成幂函数的图像．需要注意幂函数的图像依赖于指数的值,可以有不同的形状。

五个常用幂函数的图像如下:

(1);(2);(3);(4);(5).

幂函数的性质

所有的幂函数在上都是有定义的,并且图像都过点．

1.当时,耍函数有下列性质：

（1）图像都过点和.

（2）在第一象限内,函数值随的增大而增大,此时称幂函数在上是严格增函数.

（3）在第一象限内,当时,图像上凸,当时,图像下凸．

2.当时,幂函数有下列性质：

（1）图像都过点.

（2）在第一象限内,函数值随的增大而减小,此时称幂函数在区间上是严格减函数,图像都下凸.

（3）在第一象限内,当的值从右趋于原点时,图像在轴上方无限逼近轴,当趋于时,图像在轴上方无限逼近轴.

3.当时,幂函数有下列性质：

是直线去掉一点,它的图像不是直线．

（1）当时,幂函数的图像是经过原点的一条直线．

（2）指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线对称．

（3）所有的幂函数的图像都会过第一象限．

五个常用幂函数的性质

函数

定义域

单调性

增函数

在上是增函数,在,0］上是减函数

增函数

增函数

在上是减函数,在,0）上是减函数

定点

题型一,判断函数是否是幂函数

例1下列函数是幂函数的是（）

A． B．

C． D．

1-1下列函数为幂函数的是（??）

A． B． C． D．

1-2下列函数中,,,,是幂函数的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

1-3幂函数的定义

当指数固定,等式确定了的规律,称为指数为的幂函数．

题型二,求幂函数的值

例2（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点,则的值为（????）

A．64 B．2 C．16 D．8

2-1（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点,则=.

2-2（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点,则.

2-3（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若函数是幂函数,则=．

题型三,求幂函数的解析式

例3已知幂函数,当取不同的正数时,在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点,,连接,线段恰好被其中的两个幂函数,的图象三等分,即有,那么（???）

A． B． C．1 D．3

3-1（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为.

3-2（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点,则此幂函数的表达式为．

3-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若幂函数的图像经过点,则

题型四,根据函数是幂函数求参数值

例4（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数在上是严格减函数,则实数

4-1（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）幂指数为整数的幂函数的图像关于y轴成轴对称,且与x轴,y轴均无公共点,则m的取值集合为.

4-2（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图象过原点,则．

4-3（24-25高一上·上海金山·期中）函数是幂函数,则.

4-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的表达式为是幂函数,且当时,函数是严格增函数,求的解析式．

题型五,求幂函数的定义域

例5（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

5-1下列幂函数中,定义域为的是（）

A． B． C． D．

5-2（24-25高三上·上海·阶段练习）设,若幂函数的定义域与值域相同,则的所有可能取值组成的集合为．

5-3函数的定义域为．

5-4求函数的定义域.

题型六,求与幂函数有关的复合函数定义域

例6函数的定义域是（???）

A． B． C． D．

6-1函数的