湖南省常德市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析）.docxVIP

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湖南省常德市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（????）

??

A．4 B． C．16 D．8

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（????）

A． B． C． D．

4．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（????）

A． B． C． D．

5．中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

6．若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（????）

A． B． C． D．

7．已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列结论中正确的是（????）

A．若，则或

B．若，则

C．若复数满足，则的最大值为3

D．若（，），则

10．如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（????）

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的

C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点

D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点

11．如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（????）

??

A．是等边三角形

B．若，则四点共圆

C．四边形面积最大值为

D．四边形面积最小值为

三、填空题

12．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.

13．如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为.

14．已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是．

四、解答题

15．已知复数，，且为纯虚数．

(1)求复数；

(2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．

16．如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

??

(1)以r为变量，表示圆柱的表面积和体积；

(2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

17．如图，菱形的边长为，，，．

求：（1）；

（2）．

18．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.

(1)当为的中点时，求证：平面.

(2)当平面，求出点的位置，说明理由.

19．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点．

(1)求角；

(2)若，求的值；

(3)若，求的取值范围．

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《湖南省常德市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

A

B

B

D

C

BC

BC

题号

11

答案

AC

1．B

【详解】试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．

故选B．

考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.

2．D

【分析】根据题意，由斜二测画法的规则，即可得到