广东省阳东广雅学校20242024学年高中数学下学期 232平面向量正交分解及坐标表示教案 新人教A版必修4.docVIP

附件一

主备教案

232平面向量正交分解及坐标表示

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

教学过程：

一复习引入：

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

(1)我们把不共线向量ｅ１ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

二讲解新课：

1平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得

…………○1eq\o\ac(○,1)

我们把叫做向量的（直角）坐标，记作

…………○2eq\o\ac(○,2)

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为

特别地，，，

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

2平面向量的坐标运算

（1）若，，则，

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

设基底为，则

即，同理可得

（2）若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

=?=(x2，y2)?(x1，y1)=(x2?x1，y2?y1)

（3）若和实数，则

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

设基底为，则，即

三讲解范例：

例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标

例2已知=(2，1)，=(3，4)，求+，，3+4的坐标

例3已知平面上三点的坐标分别为A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点

解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2，2)

当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(?6，0)

例4已知三个力(3，4)，(2，?5)，(x，y)的合力++=，求的坐标

解：由题设++=得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)

即：∴∴(?5，1)

四课堂练习：

1若M(3，2)N(5，1)且，求P点的坐标

2若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则?2=

3已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，3)，求证：四边形ABCD是梯形

五小结（略）

六课后作业（略）

七板书设计（略）

232平面向量正交分解及坐标表示

课前预习学案

复习回顾：

平面向量基本定理：

理解：(1)我们把不共线向量ｅ１ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的;

(2)基底不惟一，关键是；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

二提出疑惑：

如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？

课内探究学案

一探究学习

1平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得

…………eq\o\ac(○,1)

我们把叫做，记作

…………eq\o\ac(○,2)

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做与相等的向量的坐标也为

特别地，i=,j=,0=

如图，在直角