广东省阳东广雅学校20242024学年高中数学下学期 25平面向量应用举例教案 新人教A版必修4.doc

251平面几何中的向量方法

学习目标

1运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行垂直相等夹角和距离等问题

2会用平面向量知识解决几何问题的两种方法——向量法和坐标法

3通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神

合作学习

一设计问题,创设情境

问题1:若O为△ABC重心,则=?

问题2:水渠横断面是四边形ABCD,,且||=||,则这个四边形为?

二信息交流,揭示规律

问题3:(1)向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会?

(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例

三运用规律,解决问题

【例1】证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和

已知:平行四边形ABCD

求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2

用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:

(1);?

(2);?

(3)?

【例2】如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗?

四变式演练,深化提高

练习:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗?

编题不只是教师的专利请自己编题,并且加以解决

五反思小结,观点提炼

请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获?

布置作业

课本P3习题25A组第1,2题

一设计问题,创设情境

问题1:=0

问题2:等腰梯形

二信息交流,揭示规律

问题3:平移全等相似长度夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度如图,平行四边行ABCD中,设=a,=b,则=a+b(平移),=ab,=b2=|AD|2(长度)向量的夹角为∠DAB因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题

三运用规律,解决问题

【例1】证明:不妨设=a,=b,则

=a+b,=ab,||2=|a|2,||2=|b|2

得||2==(a+b)·(a+b)

=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2①

同理||2=|a|22a·b+|b|2

①+②得

||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2)

所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和

用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系

【例2】解:设=a,=b,则=a+b

由与共线,因此,存在实数m,使得=m(a+b)

又由共线,因此存在实数n,使得=n=n(ba)

由+n,

得m(a+b)=a+n(ba)

整理得(m+n1)a+(mn)b=0

由于向量a,b不共线,

所以有解得

所以

同理

于是

所以AR=RT=TC

四变式演练,深化提高

练习:解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到

|F1|=

通过上面的式子我们发现,当θ由0°~180°逐渐变大时,由0°~90°逐渐变大,cos的值由大逐渐变小,因此,|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力

252向量在物理中的应用举例

学习目标

1通过力的合成与分解速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和运算的认识

2通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学在现实生活中的作用

合作学习

一设计问题,创设情境

问题1:你掌握了物理中的哪些矢量?

二信息交流,揭示规律

问题2:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力为什么?

用向量研究物理问题的步骤:

三运用规律,解决问题

【例题】如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸已知船的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到01min)?

四变式演练,深化提高

让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案(若课上时间不够,可转为课后作业)

五反思小结,观点提炼

请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?

布置作业

课本P3习题25第A组第3,4题;B组第2题

参考答案

一设计问题,创设情境

问题1:力位移速度加速度等

二信息交流,揭示规律

问题2:夹角越大,