广东省佛山市升高中数学讲义 第三讲 函数（二）新人教A版必修1.docVIP

广东省佛山市升高中数学讲义第三讲函数（二）新人教A版必修1

一知识要点

（一）函数的单调性

1增（减）函数：如果函数对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1x2，当x1＜x2时，都有（），那么就说函数在区间D上是

增（减）函数。特别注意：x1x2的三个特征一定要予以重视。增（减）函数定义中的x1x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2

2函数的单调性单调区间：如果函数y=在区间D上是或，那么就说

y=在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=的单调区间。注意：若函数在其定义域内的两个区间AB上都是增（减）函数，一般不能简单认为在A∪B上是增（减）函数。

3函数单调性的几何意义：反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是（）的。

4函数的最大（小）值：一般地，设函数y=的定义域为I。如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有≤M（≥M）；

（2）存在x0∈I，使得=M，则称M是函数的最大（小）值。

（二）函数的奇偶性

1偶（奇）函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有

（），那么函数就叫做偶（奇）函数。

2函数的奇偶性：函数是或称为函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的整体性质。

3函数的奇偶性的有关性质：

（1）函数y=是奇函数（或偶函数）的前提条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原

点对称；否则这个函数既不是奇函数又不是偶函数。

（2）函数按奇偶性可分为：奇函数偶函数，既是奇函数又是偶函数（如=0，x∈R）,既不是奇函数又不是偶函数。

（3）偶函数的和差积商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和差仍为奇函数；

奇（偶）数个奇函数的积商为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。

（4）具有奇偶性的函数的图象特征：偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称。

（5）若奇函数在x=0处有定义，则，即其图象过。

二学法指导

1正确理解函数的单调性，奇偶性的概念，会使用概念进行判断和证明，注意定义的可逆性和灵活性。

2奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同而偶函数相反，简称奇同偶异。

3注意函数性质在解题中的应用。如用单调性求函数的最值等。

【例题分析】

例1判断函数在区间上的单调性

变式1画出常见初等函数的图像并判断单调性

（1）一次函数（2）反比例函数（3）二次函数

例2已知函数，（1）证明在（1，+∞）上是减函数；（2）当时，求的最小值和最大值。

变式2已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）

A B

C D

例3判断下列函数的奇偶性：

（1）＝x3+2x （2）＝2x4+3x2 （3）＝x3+x2

（4）＝0 （5）＝（x1） （6）＝

总结：整式函数（1）～（3）中，奇偶性与x的指数有何关系？如在整式函数加上一个常数，如（1）＝的奇偶性又如何？（2）呢？

变式3（2024广东）若函数与的定义域为R，则（）

A与均为偶函数 B为奇函数，为偶函数

C与均为奇函数 D为偶函数，为奇函数

例4已知函数＝ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a1，2a]，求的值域。

变式4若是偶函数，求的大小关系。

例5已知奇函数y＝是定义在（2，2）上的减函数，若+＞0，求实数m的取值范围。

变式5已知函数=是定义在（1，1）上的奇函数，且＝

（1）确定函数的解析式

（2）用定义证明在（1，1）上是增函数

（3）解不等式+＜0

【课后练习】

1函数y=x+x+1（x∈R）的递增区间是（）

A B[1，+∞） C D（∞，+∞）

2若二次函数y=3x2+2（a1）x+b在区间（∞，1]上为减函数，那么（）

Aa=2 Ba=2 Ca≤2 Da≥2

3（广东）设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）

A是偶函数 B是奇函数

C是偶函数 D是奇函数

4对于定义在R上的任何奇函数都有（）

A＞0 B≤0

C·≤0 D·＞0

5如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那