《圆锥曲线的统一定义》教学教案2.docVIP

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圆锥曲线的统一定义

学习目标：了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的共同性质。

学习重点：圆锥曲线统一定义的推导

学习难点：对圆锥曲线共同性质的理解与运用

学习过程

一、问题情境

1.情境：

我们知道，平面内到一个定点的距离和到一条定直线不在上的距离的比等于1的动点的轨迹是抛物线．

当这个比值是一个不等于1的常数时，动点的轨迹又是什么曲线呢？

2.问题：

试探讨这个常数分别是和时，动点的轨迹？

二、学生活动

探讨过程略（可以用课件演示或直接推导）；

可以得到：当常数是时，得到的是椭圆；当常数等于时得到的是双曲线；

三、数学运用

1．例题：

例1．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

解：根据题意可得

化简得

令，上式可化为

这是椭圆的标准方程．

所以点的轨迹是以焦点为，长轴、短轴分别为的椭圆。这个椭圆的离心率就是到定点的距离和它到定直线不在上的距离的比．

类似地，我们可以得到：当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，方程为（其中），这个常数就是双曲线的离心率．

这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离的比等于常数的点的轨迹．

当时，它表示椭圆；

当时，它表示双曲线；

当时，它表示抛物线．

其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线．

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆或双曲线，与焦点对应的准线方程分别为．

例2．椭圆上一点到右准线的距离是，求该点到椭圆左焦点的距离．

解：设该椭圆的的左右焦点分别是，该椭圆的离心率为，由圆锥曲线的统一定义可知，

所以，即该点到椭圆左焦点的距离为．

说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）

例3．若椭圆内有一点，为右焦点，椭圆上有一点使最小，则点为（）

略解：因为椭圆的离心率为，则就等于点到右准线的距离，则可以看到，由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到．故选．

四．回顾小结：

圆锥曲线的统一定义；

圆锥曲线的共同性质。