《双曲线的几何性质》教学教案1 (1).docVIP

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双曲线的几何性质

学习目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质

2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明；

3．明确双曲线方程中的几何意义；

重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。

（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程；2．椭圆的性质；

（二）新课讲解：以双曲线标准方程为例进行说明。

1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。

注意：从双曲线的方程如何验证？

从标准方程可知，由此双曲线上点的坐标都适合不等式，即，即双曲线在两条直线的外侧。

2．对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），

双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。

4．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

5．等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

（三）．例题分析：

例1．求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。

解：把方程化标准方程：，由此可知，实半轴长，虚半轴长；

，焦点的坐标是

渐近线方程为，即。

例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如下左图），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）。

解：如图（上右图），建立坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径平行于轴，且，；设曲线的方程为：

令点的坐标为，则点的坐标为，

因为点在双曲线上，所以

化简，得解得

∴所求双曲线的方程为：。

例3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。

解：∵与双曲线有共同渐近线

故设所求双曲线的方程为

又∵过点∴

∴所求双曲线的方程为即。

补充：求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。

（四）．课堂小结：

方程

（）

（）

图象

关系

范围

顶点

对称性

关于轴成轴对称、关于原点成中心对称

渐近线

离心率

焦点

准线