《椭圆的几何性质》教学教案1 (1).docVIP

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椭圆的几何性质

学习目标：

1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

学习重点、难点：

重点：掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；

难点：从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

学习策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在学习过程中根据实际情况及时地调整学习方案。

学习过程：

创设问题情景，学生自主探究：

方程表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？

学生活动过程：

情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；

情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；

情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；

情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；

辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。

教师点评：

（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；

（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；

（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。

教师板书：椭圆的简单几何性质

引导评价，引入课题：

设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程有什么特点？

（1）椭圆方程是关于的二元二次方程；

（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；

（3）方程中和的系数不相等；

设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.

【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；

实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：

学生活动过程：

情形1：变形为：

这就得到了椭圆在标准方程下的范围：

同理，我们也可以得到的范围：

情形2：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围

设计意图：

（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征（1）和（2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；

（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；

（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。

结论：由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里。

【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性；

实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：

代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；

代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；

、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；

问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？

辨析与研讨：代后方程不变，就是用来代换方程中的，方程不变，和关于轴对称，两点坐标都满足方程，而是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于轴对称；其它同理。

相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

设计意图：

抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；

在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的

思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；

多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。

【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标

实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：

在椭圆的标准方程中，令，得，，得

顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点

顶点坐标；，

相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,

在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义。

【问题4】自主探究：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆的“扁”的程度呢？利用方程讨论椭圆的离心率。

实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识

情景1：将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；

情景2：细绳的长度固定不