2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题06 圆中证切线、求弧长面积、并与几何综合问题（教师版）.docxVIP

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专题06圆中证切线、求弧长面积、并与几何综合问题

通用的解题思路：

1.圆与相似

对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.

2.圆与全等

对于圆与全等相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.

3.圆的计算

对于圆的计算的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.

1．（2023·广东·中考真题）综合探究

如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．

??

(1)求证：；

(2)以点为圆心，为半径作圆．

①如图2，与相切，求证：；

②如图3，与相切，，求的面积．

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②

【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明；

（2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出；

②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为．

【详解】（1）∵点关于的对称点为，

∴点E是的中点，，

又∵四边形是矩形，

∴O是的中点，

∴是的中位线，

∴

∴，

∴

（2）①过点O作于点F，延长交于点G，则，

??

∵四边形是矩形，

∴，，

∴，．

∵，，，

∴，

∴．

∵与相切，为半径，，

∴，

∴

又∵即，，

∴是的角平分线，即，

设，则，

又∵

∴

∴

又∵，即是直角三角形，

∴，即

解得：，

∴，即，

在中，，，

∴，

∴；

②过点O作于点H，

??

∵与相切，

∴，

∵

∴四边形是矩形，

又∵，

∴四边形是正方形，

∴，

又∵是的中位线，

∴

∴

∴

又∵，

∴

又∵，

∴

又∵，

∴是等腰直角三角形，，

设，则

∴

在中，，

即

∴

∴的面积为：

【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．

2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线，且（点C在A的上方）；

②连接，交于点D；

③连接，与交于点E．

(1)求证：为的切线；

(2)求的长度．

【答案】(1)画图见解析，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；

（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．

【详解】（1）如图所示，

∵是的切线，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴，

∵点D在上，

∴为的切线；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴解得．

【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

3．（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为

(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．

(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．

(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．

【答案】(1)2

(2)

(3)

【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；

（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；

（3）依题意得出点N路径长为：，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．

【详解】（1）∵

∴为的中位线

∴D为的中点

∵

∴

（2）过N点作，交于点D，

∵，

∴为等腰直角三角形，即，

又∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴，，

∴在中，；

（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合．当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：．

??

∵．

∴．

∴．

∴，

∴，

∴N点的运动路径长为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．