2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题07 一次函数与反比例函数综合问题（教师版）.docxVIP

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专题07一次函数与反比例函数综合问题

通用的解题思路：

1.三角形面积的解题步骤：

类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高.底边平行于y轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高.

类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式S△=12

2.利用图象法解不等式解集的解题步骤：

①求交点：联立方程求出方程组的解；

②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；

③比大小：图象谁在上方谁就大；

④：写出对应区间自变量的取值范围.

3.两线段和差的最值问题

利用将军饮马模型：做对称，连定点，求交点.

1．（2024·广东东莞·一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点B，点B的横坐标为1，连接，过点B作轴于点C．

??

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)设点D是x轴上一点，使得，求点D的坐标．

【答案】(1)，

(2)点D的坐标为或

【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

（1）把点代入一次函数中，解得，进而可得点B的坐标为，再利用待定系数法解答即可；

（2）根据坐标求得，可知，再根据，得，即可求解．

【详解】（1）解：把点代入一次函数中，

得，解得，

∴一次函数的解析式为．

把点B的横坐标代入中，得，

∴点B的坐标为，

∵点B为一次函数和反比例函数图象的交点，

∴把点代入反比例函数中，得，

∴反比例函数的解析式为；

（2）∵，，轴，

∴，，，

∴，

∴，

∵，∴，

∵，

∴点D的坐标为或．

2．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出不等式的解集．

(3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．

【答案】(1)，

(2)或

(3)最大值为4，

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

（1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，由、两点坐标可得一次函数解析式；

（2）运用数形结合思想，根据的两点坐标，即可作答．

（3）根据题意，设点的坐标为，则，，则，根据最值解答即可．

【详解】（1）解：点在反比例函数图象上，

；

反比例函数解析式为，

点在反比例函数的图象上，

，解得，

，，

，在一次函数的图象上，

，解得，

一次函数解析式为：；

（2）解：由（1）知，，

∴不等式的解集为或；

（3）解：由（1）可知，设点的坐标为，则

，

，

当时，最大值为4，

．

3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；

(2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值．

（1）把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；

（2）作点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．

【详解】（1）解：把点代入一次函数，

得，

解得，

∴，

点代入反比例函数，

得，

∴反比例函数的表达式,

两个函数解析式联立列方程组得，

解得或，

∴点B坐标．

（2）解：作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小

则的最小值．

题型一面积问题

1．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作的垂线．

(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；

(2)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标；

【答案】(1)，

(2)点C的坐标为或

【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；

（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；

【详解】（1）解：令，则

∴点A的坐标为，

将点代入得：

解得：

∴

将点代入得：

解得：

∴反比例函数的表达式为；

（2）解：设直线l于y轴交于点M，