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专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题
通用的解题思路:
一、四边形与全等相似
1.三角形与全等之六大全等模型:
(1)一线三等角模型(2)手拉手模型
(3)半角模型
(4)倍长中线模型模型(5)平行线中等模型(6)雨伞等模型
2.三角形与相似之四大相似模型:
(1)A字模型(2)8字模型
(3)手拉手模型(4)一线三等角模型
二、四边形线段最值问题
(1)将军饮马模型
两定一动模型一定两动模型
两线段相减的最大值模型(三点共线)
(2)费马点模型:将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°,得到AQE,连接PQ,则△APQ为等边三角形,PA=PQ。
1.(2023·广东深圳·中考真题)(1)如图,在矩形中,为边上一点,连接,
①若,过作交于点,求证:;
②若时,则______.
??
(2)如图,在菱形中,,过作交的延长线于点,过作交于点,若时,求的值.
??
(3)如图,在平行四边形中,,,,点在上,且,点为上一点,连接,过作交平行四边形的边于点,若时,请直接写出的长.
??
2.(2022·广东广州·中考真题)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,连接BD.
(1)求BD的长;
(2)点E为线段BD上一动点(不与点B,D重合),点F在边AD上,且BE=DF,
①当CE丄AB时,求四边形ABEF的面积;
②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+CF的值是否也最小?如果是,求CE+CF的最小值;如果不是,请说明理由.
题型一特殊平行四边形中全等相似计算
1.(2024·广东汕头·一模)(1)如图1,在矩形中,为边上一点,连接,
①若,过作交于点,求证:;
②若时,则______.
(2)如图2,在菱形中,,过作交的延长线于点,过作交于点,若时,求的值.
2.(2024·广东惠州·一模)数学活动课上,老师提出如下问题:已知正方形,E为对角线上一点.
【感知】(1)如图1,连接,.求证:;
【探究】(2)如图2,F是延长线上一点,,交于点G.
①求证:;
②若G为的中点,且,求的长.
【应用】(3)如图3,F是延长线上一点,,交于点G,.求证:.
3.(2024·广东深圳·二模)(1)如图1,在正方形中,E是对角线上的一点,连接,过点E作交于F.求证:.
(2)如图2,在矩形中,,E是对角线上的一点,连接,过点E作交于点F.若,求的值.
(3)在菱形中,如图3,,点E是的三等分点,过点E作交直线于点F.请直接写出线段的长_________.
4.(2024·广东汕头·一模)综合与实践课上,梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时,遇到以下问题,请你逐一加以解答:
(1)操作判断
如图1,在正方形中,点E,F,G,H分别在边,,,上,且,若,则的长为;
如图2,在矩形中,,点E,F,G,H分别在边,,,上,且,若,则的长为;
(2)迁移探究
如图3,在中,,,点D,E分别在边,上,且,试证明:;
(3)拓展应用
如图4,在矩形中,,,平分交于点E,点F为上一点,交于点H,交矩形的边于点G.当F为的三等分点时,请直接写出的长.
题型二特殊平行四边形中线段最值问题
1.(2024·广东广州·一模)如图,在矩形和矩形中,,,,.矩形绕着点A旋转,连接,,,.
??
(1)求证:;
(2)当的长度最大时,
①求的长度;
②在内是否存在一点P,使得的值最小?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由.
2.(2024·广东汕头·一模)如图1,在中,为边上的高,连接,矩形的顶点分别在的边上,.
(1)当矩形为正方形时,求正方形的边长;
(2)如图2,连接,交于点M.
①若,求的值;
②若,点N为线段上一动点,当矩形的面积最大时,直接写出的最小值为.
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