2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题09 二次函数中最值、变换、新定义型问题（教师版）.docxVIP

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专题09二次函数中最值、变换、新定义型问题

通用的解题思路：

第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看，二次函数看对称轴与区间的位置关系；

第二步：当时，；当时，；所以.

二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。

若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值.

若，如图②，当时，；当时，.

若，如图③，当，；当，.

若，且，，如图④，当，；当，.

1．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（???）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．

【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

??

当时，则，即，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴点，

∴，

解得：，

故选B．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．

2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（???）

A． B．

C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小

【答案】C

【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．

【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．

抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．

抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．

抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．

故选C

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．

3．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．

【答案】(1)

(2)2；P（-1，0）

【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；

（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．

【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，

∴点B的坐标为（-3，0），

将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：

，

解得：b=2，c=-3，

∴抛物线的解析式为；

（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，

顶点式为：，

则C点坐标为：（-1，-4），

由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，

由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，

∵PQ∥BC，

设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，

由解得：，

∵P在线段AB上，

∴，

∴n的取值范围为-6＜n＜2，

则

∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．

【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．

4．（2022·广东广州·中考真题）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．

(1)求直线的解析式；

(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下

①求的取值范围；

②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．

【答案】(1)直线解析式为：；

(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）

【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；

（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；

②先根据点Q，点的对称，得QQ=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．

【详解】（1）解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），

∴，

解得，

∴直线解析式为：；

（2）解：①设G：（），

∵点P（，）在直线上，

∴；

∴G：（）

∵（0，-3）不在直线上，

∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，

而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（