(1.40)--2.3.3 不可延展解性质的应用.pdfVIP

2.3解的延展(三)

常微分方程

主要内容

➢不可延展解性质的应用.

常微分方程

三、不可延展解性质的应用

2

例1讨论方程=通过(1,1)的解和过点(3,-1)的解的存在

区间.

解此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.

1

容易算出，方程的通解是y

C−x

1

故通过(1,1)的积分曲线为y

2−x

它向左可无限延展，而当→2−0时，→+∞,所以，其存在

区间为(-∞,2).常微分方程

1

通过(3,-1)的积分曲线为y=

2−x

它向左不能无限延展，因为当→2+0时，→−∞,所以其

存在区间为2,+∞.

(1,1)

(3,-1)

常微分方程

例2讨论下方程的解的存在区间

dy11

−cos

dxx2x

解：方程右端函数在无界区域

D1(x,y)x0,−y+

内连续，且对y满足利普希茨条件，其通解为

1

ysin+C,0x+

x

过内任一点(,)的解

100

11

ysin+y0−sin,0x+

xx

0常微分方程

在(0,+∞)上有定义，且当→0+时，曲线上的点接近的边

1

界=0,但不趋向其上任一点.在区域

Dxyx=−y+

2(,)0,

可类似讨论.

常微分方程

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