(1.43)--2.4.2 包络的定义及奇解的求法.pdfVIP

2.4奇解与包络(二)

常微分方程

主要内容

➢包络与奇解的求法，

常微分方程

二、包络线及奇解的求法

定义2.4设给定单参数曲线族

(C):(x,y,C)0(2.10)

其中C为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线，

其上任一点均有(C)中某一曲线与相切，且在上不同点，与

(C)中不同曲线相切，那么称此曲线为曲线族(C)的包络线或

简称包络.见下图.

常微分方程

定理2.6方程(2.1)的积分曲线族(C)的包络线是(2.1)的奇积分

曲线.

证明只须证明(C)的包络线是方程(2.1)的积分曲线即可.

设(,)为上任一点,由包络线定义，必有(C)中一曲线过p点,

且与相切,即与在p点有公共切线.

由于是积分曲线，它在p点的切线应与方程(2.1)所定义的线素

场在该点的线素方向一致，所以在p点的切线也就与方程(2.1)

在该点的线素方向一致了.

常微分方程

这就表明在其上任一点的切线与方程(2.1)的线素场的方向一

致，从而是(2.1)的积分曲线.证毕.

定理2.6若是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C-

判别式

(x,y,C)0

(2.11)

(x,y,C)0

C

常微分方程

反之,若从(2.11)解得连续可微曲线

:x(C),y(C)

且满足非退化条件：

22

(C)+(C)0

22

((C),(C),C)+((C),(C),C)0

xy

则是曲线族的包络线.



证明对上任取一点(,),由包络线定义,有(C)中一条曲

线在p点与相切,设所对应的参数为c,故上的点坐标和均

是c的连续可微函数，设为xx(c),yy(c)

常微分方程

又因为(,)在上，故有恒等式

(x(c),y(c),c)0(2.12)



y(c)

在点的切线斜率为k

L

x(c)

