(1.42)--2.4.1 奇解的定义常微分方程.pdf

2.4奇解与包络(一)

常微分方程

主要内容

➢奇解的定义，

➢不存在奇解的判定.

常微分方程

一、奇解

1.奇解的定义

2

例1求方程=1−的所有解.

解该方程的通解是ysin(x+C)

此外还有两个特解=1和=−1.由于该方程右端函数的

根号前只取+号，故积分曲线如图所示,

常微分方程

例2讨论下方程解的唯一性

2

dy3

=3y

dx

解：方程的右端函数在全平面连续，当≠0时，用分离变量

3

法求得通解y(x=+C).

又=0也是方程的一个特解，积分曲线如下图

常微分方程

定义2.3如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点

处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解.奇解

对应的积分曲线称为奇积分曲线.

2.不存在奇解的判定

dy

f(x,y)(2.1)

dx

如果右端函数(,)在区域上满足解的存在唯一性条件，

则在内不存在奇解.从而奇解只存在不满足存在唯一性定理

的区域。

常微分方程

从而奇解只存在不满足存在唯一性定理的区域.如果这样的区

域上无解，则可以判定该方程无奇解.

例2判断下列方程

dy22dy

(1)x+y(2)y−x+2

dxdx

是否存在奇解.

解(1)方程右端函数f(x,y)x2+y2,fy2y

均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解.

常微分方程

(2)方程右端函数f(x,y)y−x+2在区域yx

11

上有定义且连续，fy2y−x在yx上有定义

且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有

=，即若方程(2)有奇解必定是=，然而=不是

方程的解，从而方程(2)无奇解.

常微分方程

内容小结

1.什么奇解？奇解存在什么样的的区域内；

2.方程不存在奇解的判定.

常微分方程