(3.29)--2.3.2 曲线的Frenet标架微分几何.pdfVIP

微分几何

第二章曲线论

2.3.2曲线的Frenet标架

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一、Frenet标架的定义

1.法向量场

由|(s)|1=(s)(s)0,所以曲率向量(s)是曲线的一个法向量场.

2.主法向量场

−1−1

如果在一点处(s)0，则向量(s)|(s)|(s)(s)(s)称为

s

曲线在该点的主法向量.于是在该点有

′

റ(3.6)

റ()=()(),

一、Frenet标架的定义

3.副法向量场

在(s)0处，令

(s)(s)=(s),(3.7)

它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的副法向量(次法向量).

这样，在正则曲线上(s)0的点，有一个完全确定的正交标架



r(s)r(s)r(s)

{r(s);(s),(s),(s)}{r(s);r(s),|r(s)|,|r(s)|}

称为曲线在该点的Frenet标架，它的确定不受曲线的保持定向的

参数变换的影响.

一、Frenet标架的定义

注意：如果在一点s处(s)0则一般来说无法定义在该点的Frenet标架.

00

1.若(s)0,则C是直线，可以定义它的Frenet标架.

ss

2.若0是的孤立零点，则在0的两侧都有Frenet标架如果

(s)(s)，则可以将Frenet标架延拓到s点.

−0+00

3.在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.

切线、主法线和次法线，法平面、从切面和密切面的定义与方程：

二、标架相关的线面方程

(u)r(s)=+u(s);

切线：

次

法从切线

线切

(u)r(s)=+u(s);平

主法线：

面

法平面

(u)r(s)=+u(s);