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微分几何
第六章测地曲率和测地线
§6.5Gauss-Bonnet公式
©Copyright
一、Gauss-Bonnet公式
.
在平面上三条测地线围成三角形的外角和是2，那么在曲面上三条测地线围成的三角形
外角和是多少？通过Gauss-Bonnet公式，我们可以找出答案.
定理（Gauss-Bonnet公式）假定曲线C是有向曲面S上的一条由n段光滑曲线组成
的分段光滑简单闭曲线，它所包围的区域D是曲面S的一个单连通区域，则
n
dsKd2,
gi
CDi1
其中是曲线C的测地曲率，K是曲面的Gauss曲率，是曲线在角点的外角.
gi
一、Gauss-Bonnet公式
.
证明Step1:假设区域D是落在曲面S上的一个坐标域(U,(u,v))内的单连通区域,
并且(u,v)是曲面的正交参数系，则曲面的第一基本形式为
22
E(u,v)(du)G(u,v)(dv).
设区域D的边界曲线C的参数方程是uu(s),vv(s),s是弧长参数，(s)表示曲线C
与u曲线在s处所夹的方向角，由Liouville定理，曲线C的测地曲率为
d(s)1logE1logG
kcossin.
gds2Gv2Eu
将上式沿曲线C积分得到
一、Gauss-Bonnet公式
.
1logE1logG
kdsdcos
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