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(3.21)--6.2 测地线微分几何.pdfVIP

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    微分几何

    第六章测地曲率和测地线

    §6.2测地线

    ©Copyright

    一、测地线

    .

    定义曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线.

    定理1曲面上一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主

    法向量处处是曲面的法向量.

    证明因为

    

    

    kr(s)(n)k(n,,)nkcos,

    g

    k0

    其中是曲线的副法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见，的

    g

    

    k0cos0

    条件是或者.若则该曲线是直线，若，则

    k0k0cos0

    一、测地线

    .

    

    

    于是，即曲线的主法向量是曲面的法向量.

    2

    现在我们考虑测地线的微分方程.由§1的（5）式和定理2的证明可知

    2

    dududu

    ker

    g2ds2dsds

    k0

    因此的充要条件是

    g

    2

    dududu

    

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